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| 指數函數 |
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指數函數是重要的基本初等函數之一。一般地，y=a^x函數(a為常數且以a>0，a≠1)叫做指數函數，函數的定義域是 R 。 注意，在指數函數的定義表達式中，在a^x前的係數必須是數1，自變量x必須在指數的位置上，且不能是x的其他表達式，否則，就不是指數函數。
簡介
e的定義：e=lim(x→∞)(1+1/x)^x=2.718281828...
設a>0,a!=1----(log a(x))'指數函數
=lim(Δx→∞)((log a(x+Δx)-log a(x))/Δx)
=lim(Δx→∞)(1/x*x/Δx*log a((x+Δx)/x))
=lim(Δx→∞)(1/x*log a((1+Δx/x)^(x/Δx)))
=1/x*lim(Δx→∞)(log a((1+Δx/x)^(x/Δx)))
=1/x*log a(lim(Δx→0)(1+Δx/x)^(x/Δx))
=1/x*log a(e)特殊的，
當a=e時，
(log a(x))'=(ln x)'=1/x。
設y=a^x兩邊取對數ln y=xln a兩邊對求x
導y'/y=ln ay'=yln a=a^xln a特殊地，
當a=e時，y'=(a^x)'=(e^x)'=e^xln e=e^x。
評價
指數函數是數學中重要的函數。應用到值e上的這個函數寫為exp(x)。還可以等價的寫為e，這裡的e是數學常數，就是自然對數的底數，近似等於 2.718281828，還稱為歐拉數。a一定大於零，當a>1時，指數函數對於x的負數值非常平坦，對於x的正數值迅速攀升，在 x等於 0 的時候y等於 1。當0<a<1時，指數函數對於x的負數值迅速攀升，對於x的正數值非常平坦，在x等於 0 的時候y等於 1。在x處的切線的斜率等於此處y的值乘上lna。即由導數知識：d（a^x）/dx=a^x*ln(a)。
作為實數變量x的函數，y=e^x 的圖像總是正的(在x軸之上)並遞增(從左向右看)。它永不觸及x軸，儘管它可以任意程度的靠近它(所以，x軸是這個圖像的水平漸近線。它的反函數是自然對數ln(x)，它定義在所有正數x上。
有時，尤其是在科學中，術語指數函數更一般性的用於形如k*a^x 的指數函數函數，這裡的 a 叫做「底數」，是不等於 1 的任何正實數。本文最初集中於帶有底數為歐拉數e 的指數函數。
指數函數的一般形式為y=a^x(a>0且≠1) (x∈R)，從上面我們關於冪函數的討論就可以知道，要想使得x能夠取整個實數集合為定義域，則只有使得a>0且a≠1
在函數y=a^x中可以看到：
（1） 指數函數的定義域為所有實數的集合，這裡的前提是a大於0且不等於1。對於a不大於0的情況，則必然使得函數的定義域不存在連續的區間，因此我們不予考慮，同時a等於0函數無意義一般也不考慮。
（2） 指數函數的值域為大於0的實數集合。
（3） 函數圖形都是下凸的。
（4） a>1時，則指數函數單調遞增；若0<a<1，則為單調遞減的。
（5） 可以看到一個顯然的規律，就是當a從0趨向於無窮大的指數函數過程中（不等於0），函數的曲線從分別接近於Y軸與X軸的正半軸的單調遞減函數的位置，趨向分別接近於Y軸的正半軸與X軸的負半軸的單調遞增函數的位置。其中水平直線y=1是從遞減到遞增的一個過渡位置。
（6） 函數總是在某一個方向上無限趨向於X軸,並且永不相交。
（7） 函數總是通過（0，1）這點,(若y=a^x+b,則函數定過點(0,1+b)
（8） 指數函數無界。
（9） 指數函數既不是奇函數也不是偶函數。
（10）當兩個指數函數中的a互為倒數時，兩個函數關於y軸對稱，但這兩個函數都不具有奇偶性。
（11）當指數函數中的自變量與因變量一一映射時，指數函數具有反函數。[1]