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最小正周期

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中文名；最小正周期 外文名；minimal positive period 領域；數學 算法實例；函數f(x)±g(x)最小正周期的求法

如果一個函數f（x）的所有周期中存在一個最小的正數，那麼這個最小的正數就叫做f（x）的最小正周期（minimal positive period）.例如，正弦函數的最小正周期是2π.

根據上述定義，我們有：

對於正弦函數y=sinx, 自變量x只要並且至少增加到x+2π時，函數值才能重複取得正弦函數和餘弦函數的最小正周期是2π。

y=Asin(ωx+φ), T=2π/ω（其中ω必須>0）

算法實例

函數f(x)±g(x)最小正周期的求法

定義法

概念：根據周期函數和最小正周期的定義，確定所給函數的最小正周期。

例1、求函數y=|sinx|+|cosx|的最小正周期.

解:∵ =|sinx|+|cosx|

=|－sinx|+|cosx|

=|cos(x+π/2)|+|sin(x+π/2)|

=|sin(x+π/2)|+|cos(x+π/2)|

=f(x+π/2)

對定義域內的每一個x，當x增加到x+π/2時，函數值重複出現，因此函數的最小正周期是π/2.（如果f（x+T）=f（x），那麼T叫做f（x）的周期）。

例2 、求函數

的最小正周期。

解：把看成是一個新的變量z,那麼2sinz的最小正周期是2π。

由於。所以當自變量x增加到x+4π且必須增加到x+4π時，函數值重複出現。

∴函數

的最小正周期是4π。

公式法

這類題目是通過三角函數的恆等變形，轉化為一個角的一種函數的形式，用公式去求，其中正餘弦函數求最小正周期的公式為T=2π/|ω| ，正餘切函數T=π/|ω|。

函數f(x)=Asin(ωx+φ)和f(x)=Acos(ωx+φ)(A≠0,ω>0）的最小正周期都是；函數f(x)=Atan(ωx+φ)和f(x)=Acot(ωx+φ)(A≠0,ω>0）的最小正周期都是，運用這一結論，可以直接求得形如y=Af(ωx+φ)(A≠0,ω>0）一類三角函數的最小正周期（這裡「f」表示正弦、餘弦、正切或餘切函數）。

例3、求函數y=cotx－tanx的最小正周期.

解：y=1/tanx－tanx=(1－tan^2· x)/tanx=2*(1－tan^2·x)/(2tanx)=2cot2x

∴T=π/2

函數為兩個三角函數相加，若角頻率之比為有理數，則函數有最小正周期。

最小公倍數法

設f(x)與g(x)是定義在公共集合上的兩個三角周期函數，T1、T2分別是它們的周期，且T1≠T2，則f(x)±g(x)的最小正周期T1、T2的最小公倍數，分數的最小公倍數=T1,T2分子的最小公倍數/T1、T2分母的最大公約數。

求幾個正弦、餘弦和正切函數的最小正周期，可以先求出各個三角函數的最小正周期，然後再求期最小公倍數T,即為和函數的最小正周期。

例4、求函數y=sin3x+cos5x的最小正周期.

解：設sin3x、cos5x的最小正周期分別為T1、T2，則T1=2π/3,T2=2π/5 ，所以y=sin3x+cos5x的最小正周期T=2π/1=2π.

例5、求y=sin3x+tan2x/5 的最小正周期.

解：∵sin3x與tan2x/5 的最小正周期是2π/3與5π/2,其最小公倍數是10π/1=10π.

∴y=sin3x+tan2x/5的最小正周期是10π.

說明：幾個分數的最小公倍數，我們約定為各分數的分子的最小公倍數為分子，各分母的最大公約數為分母的分數。

圖象法

概念：作出函數的圖象，從圖象上直觀地得出所求的最小正周期。

例6、求y=|sinx|的最小正周期.

解：由y=|sinx|的圖象

可知y=|sinx|的周期T=π.

例7、求下函數的最小正周期。

（1）

（2）

解：（1）先作出函數的圖象（見圖1）

觀察圖象，易得所求的周期為T=π/3。

的圖象（見圖2）

觀察圖象，易得所求的周期為T=π。

恆等變換法

概念：通過對所給函數式進行恆等變換，使其轉化為簡單的情形，再運用定義法、公式法或圖象法等求出其最小正周期。

(1) f(x)=sin(x+π/3)cos(x-π/3)

(2) f(x)=sin6x+cos6x

(3) f(x)=

解 (1)

∴最小正周期為T= π

(2) f(x)=sin6x+cos6x

=(sin2x+cos2x)(sin4x-sin2xcos2x+cos4x)

=(sin4x-sin2xcos2x+cos4x)

=(sin2x+cos2x)2-3sin2xcos2x

=1-3/4sin2x

=5/8+3/8cos4x

∴最小正周期為T=π/2

(3)

它與－cos2x的周期相同，故得 f(x)的最小正周期為T=π

補充問題

函數f(x)=sin2x-4sin³xcosx(x∈R)的最小正周期為（ B ）

A.π/4 B.π/2 C.π D.2π

參考來源

三角函數/高中數學/必修四/最小正周期/高考數學/同步提高