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| 類比 |
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類比就是由兩個對象的某些相同或相似的性質，推斷它們在其他性質上也有可能相同或相似的一種推理形式。類比是一種主觀的不充分的似真推理，因此，要確認其猜想的正確性，還須經過嚴格的邏輯論證。在台灣省，繁體中文的"類比"有"模擬量"(Analog)之意。比如遊戲手柄的"類比搖杆"、"類比電路"(模擬量電路)、類比信號(模擬信號)等等。
基本信息
中文名 類比法 [1]
應用領域 數學 法學
數學類比
概念綜述
數學解題與數學發現一樣，通常都是在通過類比、歸納等探測性方法進行探測的基礎上，獲得對有關問題的結論或解決方法的猜想，然後再設法證明或否定猜想，進而達到解決問題的目的.類比、歸納是獲得猜想的兩個重要的方法.
運用類比法解決問題，其基本過程可用框圖表示如下:
可見，運用類比法的關鍵是尋找一個合適的類比對象.按尋找類比對象的角度不同，類比法常分為以下三個類型.
降維類
將三維空間的對象降到二維(或一維)空間中的對象，此種類比方法即為降維類比.
【例2】以棱長為1的正四面體的各棱為直徑作球，S是所作六個球的交集.證明S中沒有一對點的距離大於1。
【分析】考慮平面上的類比命題:"邊長為1的正三角形，以各邊為直徑作圓，S'是所作三個圓的交集"，通過探索S'的類似性質，以尋求本題的論證思路.如圖，易知S'包含於以正三角形重心為圓心，以為半徑的圓內.因此S'內任意兩點的距離不大於1以此方法即可獲得解本題的思路。
證明:如圖，正四面體 ABCD中，M、N分別為BC、AD的中點，G
為△BCD的中心，MN∩AG=O.顯然O是正四面體ABCD的中心.易知OG=·AG=，並且可以推得以O為球心、OG為半徑的球內任意兩點間的距離不大於，其球O必包含S.現證明如下。
根據對稱性，不妨考察空間區域四面體OMCG.設P為四面體OMCG內任一點，且P不在球O內，現證P亦不在S內。
若球O交OC於T點。△TON中，ON=，OT=，cos∠TON=cos(π-∠TOM)=-。由余弦定理:
TN2=ON2+OT2+2ON·OT·=，∴TN=。
又在 Rt△AGD中，N是AD的中點，∴GN=。由GN= NT=， OG=OT， ON=ON，得 △GON≌△TON。∴∠TON=∠GON，且均為鈍角.
於是顯然在△GOC內，不屬於球O的任何點P，均有∠PON>;∠TON，即有PN>TN=，P點在 N為球心，AD為直徑的球外，P點不屬於區域S.
由此可見，球O包含六個球的交集S，即S中不存在兩點，使其距離大於.
結構類比
某些待解決的問題沒有現成的類比物，但可通過觀察，憑藉結構上的相似性等尋找類比問題，然後可通過適當的代換，將原問題轉化為類比問題來解決.
【例3】任給7個實數xk(k=1，2，…，7).證明其中有兩個數xi，xj，滿足不等式0≤≤·
【分析】若任給7個實數中有某兩個相等，結論顯然成立.若7個實數互不相等，則難以下手.但仔細觀察可發現:與兩角差的正切公式在結構上極為相似，故可選後者為類比物，並通過適當的代換將其轉化為類比問題.作代換:xk=tanαk(k =l，2，…，7)，證明必存在αi，αj，滿足不等式0≤tan(αi-αj)≤·
證明:令xk=tanαk(k =l，2，…，7)，αk∈(-，)，則原命題轉化為:證明存在兩個實數αi，αj∈(-，)，滿足0≤tan(αi-αj)≤·
由抽屜原則知，αk中必有 4個在[0，)中或在(-，0)中，不妨設有4個在[0，)中.注意到tan0=0，tan=，而在[0，)內，tanx是增函數，故只需證明存在αi，αj，使0<;αi-αj <即可。為此將[0，)分成三個小區間:[0，]、(，]、(，)。又由抽屜原則知，4個αk中至少有2個比如αi，αj同屬於某一區間，不妨設αi>;αj，則0≤αi-αj ≤，故0≤tan(αi-αj)≤·這樣，與相應的xi=tanαi、xj=tanαj，便有0≤≤·
簡化類比
簡化類比，就是將原命題類比到比原命題簡單的類比命題，通過類比命題解決思路和方法的啟發，尋求原命題的解決思路與方法.比如可先將多元問題類比為少元問題，高次問題類比到低次問題，普遍問題類比為特殊問題等.
【例4】已知xi≥0(i=1，2，…，n)，且xl+x2+…+xn=1。
求證:1≤++…+≤.
【分析】我們可先把它類比為一簡單的類比題:"已知xl≥0，x2≥0，且xl+x2 =1，求證1≤+≤".本類比題的證明思路為:∵2≤xl+x2=l，∴0≤2≤1，則1≤xl+x2+2≤2，即1≤(+)2≤2，∴1≤+≤.這一證明過程中用到了基本不等式和配方法.這正是要尋找的證明原命題的思路和方法.
證明:由基本不等式有0≤2≤xi+xj，則
0≤2≤(n-1)(xl+x2+…+xn)=n-1
∴1≤xl+x2+…+xn +2≤n，即1≤(++…+)2≤n
∴1≤++…+≤.
所謂歸納，是指通過對特例的分析來引出普遍結論的一種推理形式.它由推理的前提和結論兩部分構成:前提是若干已知的個別事實，是個別或特殊的判斷、陳述，結論是從前提中通過推理而獲得的猜想，是普遍性的陳述、判斷.其思維模式是:設Mi(i=1，2，…，n)是要研究對象M的特例或子集，若Mi(i=1，2，…，n)具有性質P，則由此猜想M也可能具有性質P.
如果=M，這時的歸納法稱為完全歸納法.由於它窮盡了被研究對象的一切特例，因而結論是正確可靠的.完全歸納法可以作為論證的方法，它又稱為枚舉歸納法.
如果是M的真子集，這時的歸納法稱為不完全歸納法.由於不完全歸納法沒有窮盡全部被研究的對象，得出的結論只能算猜想，結論的正確與否有待進一步證明或舉反例.
本節主要介紹如何運用不完全歸納法獲得猜想，對於完全歸納法，將在以後結合有關內容(如分類法)進行講解.
【例5】證明:任何面積等於1的凸四邊形的周長及兩條對角線的長度之和不小於4十.
【分析】四邊形的周長和對角線的長度和混在一起令人棘手，我們可以從特例考察起:先考慮面積為1的正方形，其周長恰為4，對角錢之和為2即.其次考察面積為1的菱形，若兩對角線長記為l1、l2，那麼菱形面積S=l1·l2，知
l1+ l2≥2=2=，菱形周長:l=4≥2=4。
由此，可以猜想:對一般的凸四邊形也可將其周長和對角線長度和分開考慮.
【證明】設ABCD為任意一個面積為1的凸四邊形，其有關線段及角標如圖.則
SABCD= (eg+gf+fh+he)sinα
≤ (e+f)(g+h)≤，
∴e+f+g+h≥2，即對角線長度之和不小於.
∴a+b+c+d≥4，即周長不小於4.
綜上所述，結論得證，
參考來源