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羅素悖論是一個專有名詞。

世界三大漢語詞典分別是中國大陸的《 漢語大詞典》(共13冊，5.6萬詞條，37萬單詞)、中國台灣的《 中文大辭典 》(共10冊，5萬詞條，40萬單詞)以及日本的《 大漢和辭典 》(共13冊，4.9萬詞條，40萬單詞)。漢字是記錄漢語的文字，它已有六千年左右的歷史，是世界上最古老的文字之一。

名詞解釋

羅素悖論：設性質P(x)表示「x\not\in x」，現假設由性質P確定了一個類A——也就是說「A=\{x|x \not\in x\}」。那麼現在的問題是：A\in A是否成立？首先，若A\in A，則A是A的元素，那麼A具有性質P，由性質P知A\not\in A；其次，若A\not\in A，也就是說A具有性質P，而A是由所有具有性質P的類組成的，所以A\in A。

羅素悖論還有一些更為通俗的描述，如理髮師悖論、書目悖論。

羅素悖論在類的理論中通過內涵公理而得到解決。

羅素悖論的例子

世界文學名著《唐·吉訶德》中有這樣一個故事：

唐·吉訶德的僕人桑喬·潘薩跑到一個小島上，成了這個島的國王。他頒布了一條奇怪的法律：每一個到達這個島的人都必須回答一個問題：「你到這裡來做什麼？」如果回答對了，就允許他在島上遊玩，而如果答錯了，就要把他絞死。對於每一個到島上來的人，或者是盡興地玩，或者是被吊上絞架。有多少人敢冒死到這島上去玩呢？一天，有一個膽大包天的人來了，他照例被問了這個問題，而這個人的回答是：「我到這裡來是要被絞死的。」請問桑喬·潘薩是讓他在島上玩，還是把他絞死呢？如果應該讓他在島上遊玩，那就與他說「要被絞死」的話不相符合，這就是說，他說「要被絞死」是錯話。既然他說錯了，就應該被處絞刑。但如果桑喬·潘薩要把他絞死呢？這時他說的「要被絞死」就與事實相符，從而就是對的，既然他答對了，就不該被絞死，而應該讓他在島上玩。小島的國王發現，他的法律無法執行，因為不管怎麼執行，都使法律受到破壞。他思索再三，最後讓衛兵把他放了，並且宣布這條法律作廢。這又是一條悖論。

由著名數學家伯特蘭·羅素（Russel，1872—1970）提出的悖論與之相似：

在某個城市中有一位理髮師，他的廣告詞是這樣寫的：「本人的理髮技藝十分高超，譽滿全城。我將為本城所有不給自己刮臉的人刮臉，我也只給這些人刮臉。我對各位表示熱誠歡迎！」來找他刮臉的人絡繹不絕，自然都是那些不給自己刮臉的人。可是，有一天，這位理髮師從鏡子裡看見自己的鬍子長了，他本能地抓起了剃刀，你們看他能不能給他自己刮臉呢？如果他不給自己刮臉，他就屬於「不給自己刮臉的人」，他就要給自己刮臉，而如果他給自己刮臉呢？他又屬於「給自己刮臉的人」，他就不該給自己刮臉。

理髮師悖論與羅素悖論是等價的：

因為，如果把每個人看成一個集合，這個集合的元素被定義成這個人刮臉的對象。那麼，理髮師宣稱，他的元素，都是城裡不屬於自身的那些集合，並且城裡所有不屬於自身的集合都屬於他。那麼他是否屬於他自己？這樣就由理髮師悖論得到了羅素悖論。反過來的變換也是成立的。

羅素悖論的影響

十九世紀下半葉，康托爾創立了著名的集合論，在集合論剛產生時，曾遭到許多人的猛烈攻擊。但不久這一開創性成果就為廣大數學家所接受了，並且獲得廣泛而高度的讚譽。數學家們發現，從自然數與康托爾集合論出發可建立起整個數學大廈。因而集合論成為現代數學的基石。「一切數學成果可建立在集合論基礎上」這一發現使數學家們為之陶醉。1900年，國際數學家大會上，法國著名數學家龐加萊就曾興高采烈地宣稱：「………藉助集合論概念，我們可以建造整個數學大廈……今天，我們可以說絕對的嚴格性已經達到了……」

可是，好景不長。1903年，一個震驚數學界的消息傳出：集合論是有漏洞的！這就是英國數學家羅素提出的著名的羅素悖論。羅素的這條悖論使集合理論產生了危機。它非常淺顯易懂，而且所涉及的只是集合論中最基本的東西。所以，羅素悖論一提出就在當時的數學界與邏輯學界內引起了極大震動。德國的著名邏輯學家弗里茲在他的關於集合的基礎理論完稿付印時，收到了羅素關於這一悖論的信。他立刻發現，自己忙了很久得出的一系列結果卻被這條悖論攪得一團糟。他只能在自己著作的末尾寫道：「一個科學家所碰到的最倒霉的事，莫過於是在他的工作即將完成時卻發現所乾的工作的基礎崩潰了。」

1874年，德國數學家康托爾創立了集合論，很快滲透到大部分數學分支，成為它們的基礎。到 19世紀末，全部數學幾乎都建立在集合論的基礎之上了。就在這時，集合論中接連出現了一些自相矛盾的結果，特別是1902年羅素提出的理髮師故事反映的悖論，它極為簡單、明確、通俗。於是，數學的基礎被動搖了，這就是所謂的第三次「數學危機」。