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正如孪生素数是指差等于2的两个素数，三胞胎素数是指三个连续素数，使得其中最大的一个减去最小一个的差不超过6。事实上，除了最小的两组三胞胎素数：(2, 3, 5) 和 (3, 5, 7)，其它的三胞胎素数都是相差达到6的三元数组。除了以上两个特例以外，三胞胎素数分为两类：

A类三胞胎素数，构成为{\displaystyle p,p+2,p+6}{\displaystyle p,p+2,p+6}，相差2的两个孪生素数在前面，例如：(5，7，11)；(11，13，17)； (17，19，23)；等等。

B类三胞胎素数，构成为{\displaystyle p,p+4,p+6}{\displaystyle p,p+4,p+6}，相差2的两个孪生素数在后面，例如：(7，11，13)；(13，17，19)；(37，41，43)；等等。

当素数p 大于3时，可以证明形同{\displaystyle p,p+2,p+4}{\displaystyle p,p+2,p+4}的数组不可能是三胞胎素数[1]。事实上，这三个数对3的模两两不同，所以必然有一个能被3整除。然而这三个数都比3要大，因此一定有一个是3的倍数，从而这个数不是素数。



在数论中，三胞胎素数（也称为三生素数）是一类由三个连续素数组成的数组。三胞胎素数的定义类似于孪生素数，它的名字也正是由此而来。 三胞胎素数猜想

有关孪生素数的一个著名猜想是：是否有无穷多个孪生素数？同样的，有关于三胞胎素数的类似猜想：是否有无穷个三胞胎素数？由于三胞胎素数中一定有两个是孪生素数，解决了三胞胎素数猜想也就意味着解决了孪生素数猜想。

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在数论中，三胞胎素数（也称为三生素数）是一类由三个连续素数组成的数组。三胞胎素数的定义类似于孪生素数，它的名字也正是由此而来。

定义	编辑
正如孪生素数是指差等于2的两个素数，三胞胎素数是指三个连续素数，使得其中最大的一个减去最小一个的差不超过6。事实上，除了最小的两组三胞胎素数：(2, 3, 5) 和 (3, 5, 7)，其它的三胞胎素数都是相差达到6的三元数组。除了以上两个特例以外，三胞胎素数分为两类：

公式	
==A类三胞胎素数==	
为了具体地求一定范围内的A类三胞胎素数，可以利用一下的定理：“若自然数{\displaystyle A-2,A,A+4}{\displaystyle A-2,A,A+4}都不能被不大于{\displaystyle {\sqrt {A+4}}}{\displaystyle {\sqrt {A+4}}}的任何素数整除，则{\displaystyle A-2,A}{\displaystyle A-2,A}与{\displaystyle A+4}{\displaystyle A+4}都是素数”。 这个定理的证明用到一个简单的事实：如果一个自然数{\displaystyle A}{\displaystyle A}不能被不大于{\displaystyle {\sqrt {A}}}{\displaystyle {\sqrt {A}}}的任何素数整除，则{\displaystyle A}{\displaystyle A}是素数。

考虑按照从小到大的顺序：2，3，5，……排列的前k 个素数{\displaystyle p_{1},p_{2},\dots ,p_{k}}{\displaystyle p_{1},p_{2},\dots ,p_{k}}。解方程：

{\displaystyle A=p_{1}m_{1}+g_{1}=p_{2}m_{2}+g_{2}=\dots =p_{k}m_{k}+g_{k}\qquad \qquad \cdots \quad (1)}{\displaystyle A=p_{1}m_{1}+g_{1}=p_{2}m_{2}+g_{2}=\dots =p_{k}m_{k}+g_{k}\qquad \qquad \cdots \quad (1)}
其中{\displaystyle g_{i}\neq 0}{\displaystyle g_{i}\neq 0}，{\displaystyle g_{i}\neq 2}{\displaystyle g_{i}\neq 2}，{\displaystyle g_{i}\neq p_{i}-4}{\displaystyle g_{i}\neq p_{i}-4}（保证{\displaystyle A-2,A,A+4}{\displaystyle A-2,A,A+4}都不能被任一个素数整除），{\displaystyle 1\leq g_{i}\leq p_{i}-1}{\displaystyle 1\leq g_{i}\leq p_{i}-1}。

如果解出{\displaystyle A<p_{k+1}^{2}-4}{\displaystyle A<p_{k+1}^{2}-4}，则{\displaystyle A-2,A}{\displaystyle A-2,A}与{\displaystyle A+4}{\displaystyle A+4}是一组三胞胎素数。

我们可以把（1）式内容等价转换成为同余方程组表示：

{\displaystyle A\equiv g_{1}{\pmod {p_{1}}},\ A\equiv g_{2}{\pmod {p_{2}}},\ \cdots ,\ A\equiv g_{k}{\pmod {p_{k}}}\qquad \qquad \cdots \quad (2)}{\displaystyle A\equiv g_{1}{\pmod {p_{1}}},\ A\equiv g_{2}{\pmod {p_{2}}},\ \cdots ,\ A\equiv g_{k}{\pmod {p_{k}}}\qquad \qquad \cdots \quad (2)}
由于（2）式的模{\displaystyle p_{1}}{\displaystyle p_{1}}、{\displaystyle p_{2}}{\displaystyle p_{2}}、……、{\displaystyle p_{k}}{\displaystyle p_{k}} 是素数，两两互素，根据孙子定理（中国剩余定理）知，对于给定的{\displaystyle g_{1},g_{2},\cdots ,g_{k}}{\displaystyle g_{1},g_{2},\cdots ,g_{k}}，（2）式在{\displaystyle p_{1}p_{2}\cdots p_{k}}{\displaystyle p_{1}p_{2}\cdots p_{k}}范围内有唯一解。

==A类三胞胎素数的例子==
例如k=2时，{\displaystyle A=2m_{1}+1=3m_{2}+1}{\displaystyle A=2m_{1}+1=3m_{2}+1}，解得{\displaystyle A=7,13,19}{\displaystyle A=7,13,19}。这三个素数都满足{\displaystyle A<p_{k+1}^{2}-4}{\displaystyle A<p_{k+1}^{2}-4}的条件：{\displaystyle 7,13,19<5^{2}-4}{\displaystyle 7,13,19<5^{2}-4}，因此，这三个素数所对应的素数组：

7-2，7与7+4；
13-2，13与13+4；
19-2，19与19+4
都是三胞胎素数组。

这样，就求得了区间{\displaystyle (5,5^{2})}{\displaystyle (5,5^{2})}中的全部A类三胞胎素数。

又如当k=3时，设有方程组{\displaystyle A=2m_{1}+1=3m_{2}+1=5m_{3}+3}{\displaystyle A=2m_{1}+1=3m_{2}+1=5m_{3}+3}，解得{\displaystyle A=13}{\displaystyle A=13} 与{\displaystyle A=43}{\displaystyle A=43}。其中出现一个新的素数43，而{\displaystyle 43<7^{2}-4}{\displaystyle 43<7^{2}-4}。因此，43-2，43与43+4也是一组三胞胎素数。

又比如求解方程组{\displaystyle A=2m_{1}+1=3m_{2}+1=5m_{3}+4}{\displaystyle A=2m_{1}+1=3m_{2}+1=5m_{3}+4}，解得{\displaystyle A=19}{\displaystyle A=19}，也是上面已经求出过的一组三胞胎素数。

由于余数不能是0、2或对应的素数减去4，可能的余数组合只有以上的两种，所以上面的计算已经求得了区间{\displaystyle (7,7^{2})}{\displaystyle (7,7^{2})}的全部A类三胞胎素数。

k=4时	{\displaystyle 7m_{4}+1}{\displaystyle 7m_{4}+1}	{\displaystyle 7m_{4}+4}{\displaystyle 7m_{4}+4}	{\displaystyle 7m_{4}+5}{\displaystyle 7m_{4}+5}	{\displaystyle 7m_{4}+6}{\displaystyle 7m_{4}+6}
{\displaystyle A=2m_{1}+1=3m_{2}+1=5m_{3}+3}{\displaystyle A=2m_{1}+1=3m_{2}+1=5m_{3}+3}	43	193	103	13
{\displaystyle A=2m_{1}+1=3m_{2}+1=5m_{3}+4}{\displaystyle A=2m_{1}+1=3m_{2}+1=5m_{3}+4}	169	109	19	139
已经得到区间{\displaystyle (11,11^{2})}{\displaystyle (11,11^{2})}的全部A类三胞胎素数

==B类三胞胎素数==
对于B类的三胞胎素数，也可以用类似的结论：“若自然数{\displaystyle B-4,B,B+2}{\displaystyle B-4,B,B+2}都不能被不大于{\displaystyle {\sqrt {B+2}}}{\displaystyle {\sqrt {B+2}}}任何素数整除，则{\displaystyle B-4,B}{\displaystyle B-4,B}与{\displaystyle B+2}{\displaystyle B+2}都是素数”。这个结论的证明与上面的相同。

于是同样地，考虑按照从小到大的顺序：2，3，5，……排列的前k 个素数{\displaystyle p_{1},p_{2},\dots ,p_{k}}{\displaystyle p_{1},p_{2},\dots ,p_{k}}。解方程：

{\displaystyle B=p_{1}m_{1}+j_{1}=p_{2}m_{2}+j_{2}=\dots =p_{k}m_{k}+j_{k}\qquad \qquad \cdots \quad (3)}{\displaystyle B=p_{1}m_{1}+j_{1}=p_{2}m_{2}+j_{2}=\dots =p_{k}m_{k}+j_{k}\qquad \qquad \cdots \quad (3)}
其中{\displaystyle j_{i}\neq 0}{\displaystyle j_{i}\neq 0}、{\displaystyle j_{i}\neq 4}{\displaystyle j_{i}\neq 4}、{\displaystyle j_{i}\neq p_{i}-2}{\displaystyle j_{i}\neq p_{i}-2}。

而如果{\displaystyle B<p_{k+1}^{2}-2}{\displaystyle B<p_{k+1}^{2}-2}，则{\displaystyle B-4,B}{\displaystyle B-4,B}与{\displaystyle B+2}{\displaystyle B+2}是一组三胞胎素数。

我们可以把（3）式内容等价转换成为同余方程组表示：

{\displaystyle B\equiv j_{1}{\pmod {p_{1}}},B\equiv j_{2}{\pmod {p_{2}}},\dots ,B\equiv j_{k}{\pmod {p_{k}}}\qquad \qquad \cdots \quad (4)}{\displaystyle B\equiv j_{1}{\pmod {p_{1}}},B\equiv j_{2}{\pmod {p_{2}}},\dots ,B\equiv j_{k}{\pmod {p_{k}}}\qquad \qquad \cdots \quad (4)}
同样地，由于（4）式中的模{\displaystyle p_{1}}{\displaystyle p_{1}}、{\displaystyle p_{2}}{\displaystyle p_{2}}、……、{\displaystyle p_{k}}{\displaystyle p_{k}} 是素数，两两互素，根据孙子定理（中国剩余定理）知，对于给定的{\displaystyle j_{1},j_{2},\cdots ,j_{k}}{\displaystyle j_{1},j_{2},\cdots ,j_{k}}，（4）式在{\displaystyle p_{1}p_{2}\cdots p_{k}}{\displaystyle p_{1}p_{2}\cdots p_{k}}范围内有唯一解。

==B类三胞胎素数的例子==	
例如k=2时，{\displaystyle B=2m_{1}+1=3m_{2}+2}{\displaystyle B=2m_{1}+1=3m_{2}+2}，解得B=11，17。这两个素数都满足{\displaystyle B<p_{k+1}^{2}-2}{\displaystyle B<p_{k+1}^{2}-2}的条件：{\displaystyle 11,17<5^{2}-2}{\displaystyle 11,17<5^{2}-2}，因此我们得到两组B类三胞胎素数：

11-4，11与11+2；
17-4，17与17+2；
这样，就求得了区间{\displaystyle (5,5^{2})}{\displaystyle (5,5^{2})}中的全部B类三胞胎素数。

又比如当k=3时，解方程组{\displaystyle B=2m_{1}+1=3m_{2}+1=5m_{3}+2}{\displaystyle B=2m_{1}+1=3m_{2}+1=5m_{3}+2}，解得B=11，41。这两个素数都满足{\displaystyle B<p_{k+1}^{2}-2}{\displaystyle B<p_{k+1}^{2}-2}的条件：{\displaystyle 11,41<7^{2}-2}{\displaystyle 11,41<7^{2}-2}，因此我们得到一组新的B类三胞胎素数：

41-4，41与41+2。
而解方程组{\displaystyle B=2m_{1}+1=3m_{2}+2=5m_{3}+2}{\displaystyle B=2m_{1}+1=3m_{2}+2=5m_{3}+2}，得B=17，也是上面已经求出过的一组三胞胎素数。

由于余数不能是0、4或对应的素数减去2，可能的余数组合只有以上的两种，所以上面的计算 已经求得了区间{\displaystyle (7,7^{2})}{\displaystyle (7,7^{2})}的全部B类三胞胎素数。

k=4时	{\displaystyle 7m_{4}+1}{\displaystyle 7m_{4}+1}	{\displaystyle 7m_{4}+2}{\displaystyle 7m_{4}+2}	{\displaystyle 7m_{4}+3}{\displaystyle 7m_{4}+3}	{\displaystyle 7m_{4}+6}{\displaystyle 7m_{4}+6}
{\displaystyle B=2m_{1}+1=3m_{2}+2=5m_{3}+1}{\displaystyle B=2m_{1}+1=3m_{2}+2=5m_{3}+1}	71	191	101	41
{\displaystyle B=2m_{1}+1=3m_{2}+2=5m_{3}+2}{\displaystyle B=2m_{1}+1=3m_{2}+2=5m_{3}+2}	197	107	17	167
已经求得了区间{\displaystyle (11,11^{2})}{\displaystyle (11,11^{2})}的全部B类三胞胎素数。

仿此下去可以求得给定区域内的全部A类和B类全部三胞胎素数，并且一个不漏地求得。

==三胞胎素数猜想==
有关孪生素数的一个著名猜想是：是否有无穷多个孪生素数？这个问题迄今尚未解决。同样的，有关于三胞胎素数的类似猜想：是否有无穷个三胞胎素数？由于三胞胎素数中一定有两个是孪生素数，解决了三胞胎素数猜想也就意味着解决了孪生素数猜想。