三胞胎素數真相檢視原始碼討論檢視歷史

正如孿生素數是指差等於2的兩個素數，三胞胎素數是指三個連續素數，使得其中最大的一個減去最小一個的差不超過6。事實上，除了最小的兩組三胞胎素數：(2, 3, 5) 和 (3, 5, 7)，其它的三胞胎素數都是相差達到6的三元數組。除了以上兩個特例以外，三胞胎素數分為兩類：

A類三胞胎素數，構成為{\displaystyle p,p+2,p+6}{\displaystyle p,p+2,p+6}，相差2的兩個孿生素數在前面，例如：(5，7，11)；(11，13，17)； (17，19，23)；等等。

B類三胞胎素數，構成為{\displaystyle p,p+4,p+6}{\displaystyle p,p+4,p+6}，相差2的兩個孿生素數在後面，例如：(7，11，13)；(13，17，19)；(37，41，43)；等等。

當素數p 大於3時，可以證明形同{\displaystyle p,p+2,p+4}{\displaystyle p,p+2,p+4}的數組不可能是三胞胎素數[1]。事實上，這三個數對3的模兩兩不同，所以必然有一個能被3整除。然而這三個數都比3要大，因此一定有一個是3的倍數，從而這個數不是素數。

在數論中，三胞胎素數（也稱為三生素數）是一類由三個連續素數組成的數組。三胞胎素數的定義類似於孿生素數，它的名字也正是由此而來。 三胞胎素數猜想

有關孿生素數的一個著名猜想是：是否有無窮多個孿生素數？同樣的，有關於三胞胎素數的類似猜想：是否有無窮個三胞胎素數？由於三胞胎素數中一定有兩個是孿生素數，解決了三胞胎素數猜想也就意味着解決了孿生素數猜想。

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在數論中，三胞胎素數（也稱為三生素數）是一類由三個連續素數組成的數組。三胞胎素數的定義類似於孿生素數，它的名字也正是由此而來。

定義 編輯 正如孿生素數是指差等於2的兩個素數，三胞胎素數是指三個連續素數，使得其中最大的一個減去最小一個的差不超過6。事實上，除了最小的兩組三胞胎素數：(2, 3, 5) 和 (3, 5, 7)，其它的三胞胎素數都是相差達到6的三元數組。除了以上兩個特例以外，三胞胎素數分為兩類：

公式

A類三胞胎素數

為了具體地求一定範圍內的A類三胞胎素數，可以利用一下的定理：「若自然數{\displaystyle A-2,A,A+4}{\displaystyle A-2,A,A+4}都不能被不大於{\displaystyle {\sqrt {A+4}}}{\displaystyle {\sqrt {A+4}}}的任何素數整除，則{\displaystyle A-2,A}{\displaystyle A-2,A}與{\displaystyle A+4}{\displaystyle A+4}都是素數」。 這個定理的證明用到一個簡單的事實：如果一個自然數{\displaystyle A}{\displaystyle A}不能被不大於{\displaystyle {\sqrt {A}}}{\displaystyle {\sqrt {A}}}的任何素數整除，則{\displaystyle A}{\displaystyle A}是素數。

考慮按照從小到大的順序：2，3，5，……排列的前k 個素數{\displaystyle p_{1},p_{2},\dots ,p_{k}}{\displaystyle p_{1},p_{2},\dots ,p_{k}}。解方程：

{\displaystyle A=p_{1}m_{1}+g_{1}=p_{2}m_{2}+g_{2}=\dots =p_{k}m_{k}+g_{k}\qquad \qquad \cdots \quad (1)}{\displaystyle A=p_{1}m_{1}+g_{1}=p_{2}m_{2}+g_{2}=\dots =p_{k}m_{k}+g_{k}\qquad \qquad \cdots \quad (1)} 其中{\displaystyle g_{i}\neq 0}{\displaystyle g_{i}\neq 0}，{\displaystyle g_{i}\neq 2}{\displaystyle g_{i}\neq 2}，{\displaystyle g_{i}\neq p_{i}-4}{\displaystyle g_{i}\neq p_{i}-4}（保證{\displaystyle A-2,A,A+4}{\displaystyle A-2,A,A+4}都不能被任一個素數整除），{\displaystyle 1\leq g_{i}\leq p_{i}-1}{\displaystyle 1\leq g_{i}\leq p_{i}-1}。

如果解出{\displaystyle A<p_{k+1}^{2}-4}{\displaystyle A<p_{k+1}^{2}-4}，則{\displaystyle A-2,A}{\displaystyle A-2,A}與{\displaystyle A+4}{\displaystyle A+4}是一組三胞胎素數。

我們可以把（1）式內容等價轉換成為同餘方程組表示：

{\displaystyle A\equiv g_{1}{\pmod {p_{1}}},\ A\equiv g_{2}{\pmod {p_{2}}},\ \cdots ,\ A\equiv g_{k}{\pmod {p_{k}}}\qquad \qquad \cdots \quad (2)}{\displaystyle A\equiv g_{1}{\pmod {p_{1}}},\ A\equiv g_{2}{\pmod {p_{2}}},\ \cdots ,\ A\equiv g_{k}{\pmod {p_{k}}}\qquad \qquad \cdots \quad (2)} 由於（2）式的模{\displaystyle p_{1}}{\displaystyle p_{1}}、{\displaystyle p_{2}}{\displaystyle p_{2}}、……、{\displaystyle p_{k}}{\displaystyle p_{k}} 是素數，兩兩互素，根據孫子定理（中國剩餘定理）知，對於給定的{\displaystyle g_{1},g_{2},\cdots ,g_{k}}{\displaystyle g_{1},g_{2},\cdots ,g_{k}}，（2）式在{\displaystyle p_{1}p_{2}\cdots p_{k}}{\displaystyle p_{1}p_{2}\cdots p_{k}}範圍內有唯一解。

A類三胞胎素數的例子

例如k=2時，{\displaystyle A=2m_{1}+1=3m_{2}+1}{\displaystyle A=2m_{1}+1=3m_{2}+1}，解得{\displaystyle A=7,13,19}{\displaystyle A=7,13,19}。這三個素數都滿足{\displaystyle A<p_{k+1}^{2}-4}{\displaystyle A<p_{k+1}^{2}-4}的條件：{\displaystyle 7,13,19<5^{2}-4}{\displaystyle 7,13,19<5^{2}-4}，因此，這三個素數所對應的素數組：

7-2，7與7+4； 13-2，13與13+4； 19-2，19與19+4 都是三胞胎素數組。

這樣，就求得了區間{\displaystyle (5,5^{2})}{\displaystyle (5,5^{2})}中的全部A類三胞胎素數。

又如當k=3時，設有方程組{\displaystyle A=2m_{1}+1=3m_{2}+1=5m_{3}+3}{\displaystyle A=2m_{1}+1=3m_{2}+1=5m_{3}+3}，解得{\displaystyle A=13}{\displaystyle A=13} 與{\displaystyle A=43}{\displaystyle A=43}。其中出現一個新的素數43，而{\displaystyle 43<7^{2}-4}{\displaystyle 43<7^{2}-4}。因此，43-2，43與43+4也是一組三胞胎素數。

又比如求解方程組{\displaystyle A=2m_{1}+1=3m_{2}+1=5m_{3}+4}{\displaystyle A=2m_{1}+1=3m_{2}+1=5m_{3}+4}，解得{\displaystyle A=19}{\displaystyle A=19}，也是上面已經求出過的一組三胞胎素數。

由於餘數不能是0、2或對應的素數減去4，可能的餘數組合只有以上的兩種，所以上面的計算已經求得了區間{\displaystyle (7,7^{2})}{\displaystyle (7,7^{2})}的全部A類三胞胎素數。

k=4時 {\displaystyle 7m_{4}+1}{\displaystyle 7m_{4}+1} {\displaystyle 7m_{4}+4}{\displaystyle 7m_{4}+4} {\displaystyle 7m_{4}+5}{\displaystyle 7m_{4}+5} {\displaystyle 7m_{4}+6}{\displaystyle 7m_{4}+6} {\displaystyle A=2m_{1}+1=3m_{2}+1=5m_{3}+3}{\displaystyle A=2m_{1}+1=3m_{2}+1=5m_{3}+3} 43 193 103 13 {\displaystyle A=2m_{1}+1=3m_{2}+1=5m_{3}+4}{\displaystyle A=2m_{1}+1=3m_{2}+1=5m_{3}+4} 169 109 19 139 已經得到區間{\displaystyle (11,11^{2})}{\displaystyle (11,11^{2})}的全部A類三胞胎素數

B類三胞胎素數

對於B類的三胞胎素數，也可以用類似的結論：「若自然數{\displaystyle B-4,B,B+2}{\displaystyle B-4,B,B+2}都不能被不大於{\displaystyle {\sqrt {B+2}}}{\displaystyle {\sqrt {B+2}}}任何素數整除，則{\displaystyle B-4,B}{\displaystyle B-4,B}與{\displaystyle B+2}{\displaystyle B+2}都是素數」。這個結論的證明與上面的相同。

於是同樣地，考慮按照從小到大的順序：2，3，5，……排列的前k 個素數{\displaystyle p_{1},p_{2},\dots ,p_{k}}{\displaystyle p_{1},p_{2},\dots ,p_{k}}。解方程：

{\displaystyle B=p_{1}m_{1}+j_{1}=p_{2}m_{2}+j_{2}=\dots =p_{k}m_{k}+j_{k}\qquad \qquad \cdots \quad (3)}{\displaystyle B=p_{1}m_{1}+j_{1}=p_{2}m_{2}+j_{2}=\dots =p_{k}m_{k}+j_{k}\qquad \qquad \cdots \quad (3)} 其中{\displaystyle j_{i}\neq 0}{\displaystyle j_{i}\neq 0}、{\displaystyle j_{i}\neq 4}{\displaystyle j_{i}\neq 4}、{\displaystyle j_{i}\neq p_{i}-2}{\displaystyle j_{i}\neq p_{i}-2}。

而如果{\displaystyle B<p_{k+1}^{2}-2}{\displaystyle B<p_{k+1}^{2}-2}，則{\displaystyle B-4,B}{\displaystyle B-4,B}與{\displaystyle B+2}{\displaystyle B+2}是一組三胞胎素數。

我們可以把（3）式內容等價轉換成為同餘方程組表示：

{\displaystyle B\equiv j_{1}{\pmod {p_{1}}},B\equiv j_{2}{\pmod {p_{2}}},\dots ,B\equiv j_{k}{\pmod {p_{k}}}\qquad \qquad \cdots \quad (4)}{\displaystyle B\equiv j_{1}{\pmod {p_{1}}},B\equiv j_{2}{\pmod {p_{2}}},\dots ,B\equiv j_{k}{\pmod {p_{k}}}\qquad \qquad \cdots \quad (4)} 同樣地，由於（4）式中的模{\displaystyle p_{1}}{\displaystyle p_{1}}、{\displaystyle p_{2}}{\displaystyle p_{2}}、……、{\displaystyle p_{k}}{\displaystyle p_{k}} 是素數，兩兩互素，根據孫子定理（中國剩餘定理）知，對於給定的{\displaystyle j_{1},j_{2},\cdots ,j_{k}}{\displaystyle j_{1},j_{2},\cdots ,j_{k}}，（4）式在{\displaystyle p_{1}p_{2}\cdots p_{k}}{\displaystyle p_{1}p_{2}\cdots p_{k}}範圍內有唯一解。

B類三胞胎素數的例子

例如k=2時，{\displaystyle B=2m_{1}+1=3m_{2}+2}{\displaystyle B=2m_{1}+1=3m_{2}+2}，解得B=11，17。這兩個素數都滿足{\displaystyle B<p_{k+1}^{2}-2}{\displaystyle B<p_{k+1}^{2}-2}的條件：{\displaystyle 11,17<5^{2}-2}{\displaystyle 11,17<5^{2}-2}，因此我們得到兩組B類三胞胎素數：

11-4，11與11+2； 17-4，17與17+2； 這樣，就求得了區間{\displaystyle (5,5^{2})}{\displaystyle (5,5^{2})}中的全部B類三胞胎素數。

又比如當k=3時，解方程組{\displaystyle B=2m_{1}+1=3m_{2}+1=5m_{3}+2}{\displaystyle B=2m_{1}+1=3m_{2}+1=5m_{3}+2}，解得B=11，41。這兩個素數都滿足{\displaystyle B<p_{k+1}^{2}-2}{\displaystyle B<p_{k+1}^{2}-2}的條件：{\displaystyle 11,41<7^{2}-2}{\displaystyle 11,41<7^{2}-2}，因此我們得到一組新的B類三胞胎素數：

41-4，41與41+2。 而解方程組{\displaystyle B=2m_{1}+1=3m_{2}+2=5m_{3}+2}{\displaystyle B=2m_{1}+1=3m_{2}+2=5m_{3}+2}，得B=17，也是上面已經求出過的一組三胞胎素數。

由於餘數不能是0、4或對應的素數減去2，可能的餘數組合只有以上的兩種，所以上面的計算 已經求得了區間{\displaystyle (7,7^{2})}{\displaystyle (7,7^{2})}的全部B類三胞胎素數。

k=4時 {\displaystyle 7m_{4}+1}{\displaystyle 7m_{4}+1} {\displaystyle 7m_{4}+2}{\displaystyle 7m_{4}+2} {\displaystyle 7m_{4}+3}{\displaystyle 7m_{4}+3} {\displaystyle 7m_{4}+6}{\displaystyle 7m_{4}+6} {\displaystyle B=2m_{1}+1=3m_{2}+2=5m_{3}+1}{\displaystyle B=2m_{1}+1=3m_{2}+2=5m_{3}+1} 71 191 101 41 {\displaystyle B=2m_{1}+1=3m_{2}+2=5m_{3}+2}{\displaystyle B=2m_{1}+1=3m_{2}+2=5m_{3}+2} 197 107 17 167 已經求得了區間{\displaystyle (11,11^{2})}{\displaystyle (11,11^{2})}的全部B類三胞胎素數。

仿此下去可以求得給定區域內的全部A類和B類全部三胞胎素數，並且一個不漏地求得。

三胞胎素數猜想

有關孿生素數的一個著名猜想是：是否有無窮多個孿生素數？這個問題迄今尚未解決。同樣的，有關於三胞胎素數的類似猜想：是否有無窮個三胞胎素數？由於三胞胎素數中一定有兩個是孿生素數，解決了三胞胎素數猜想也就意味着解決了孿生素數猜想。