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正定函數 圖片來自CSDN博客

正定函數是一個在許多領域都會遇到並且很有用的概念。如概率論中隨機變量的特徵函數就是正定函數。特徵函數比隨機變量的分布函數更易於處理。說明了系統的穩定性。

定義

設 ⊂ 是包含原點的一個區域，如果定義在 上的連續函數 滿足： ，以及 ， 且 。則稱 是正定的。如果只滿足弱一點的條件，對 ，只有 ，則稱 為半正定的。

此外，如果 是正定的或者半正定的，則稱 是負定的或者半負定的。如果不能斷定 為四種情況中的某一種，則稱它是不定的。

應用

Lyapunov穩定性

設⊂是包含原點的一個區域，為定義在上滿足局部Lipschitz條件，且。對於系統，如果存在一個連續可微的正定函數使得為半負定，則原點為系統的穩定平衡點。如果進一步使得為負定的，則原點具有漸近穩定性；如果還滿足徑向無界，則原點具有全局漸近穩定性。