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{| class="wikitable" align="right" |- | style="background: #FF2400" align= center| '''<big>指数函数</big>''' |- |<center><img src=https://p1.ssl.qhimg.com/t01bc7f1bf47c51c630.jpg width="300"></center> <small>[https://baike.so.com/gallery/list?ghid=first&pic_idx=3&eid=5394789&sid=5631927 来自 网络 的图片]</small> |- |- | align= light| |} '''指数函数'''是重要的基本初等函数之一。一般地,y=a^x函数(a为常数且以a>0,a≠1)叫做指数函数,函数的定义域是 R 。 注意,在指数函数的定义表达式中,在a^x前的系数必须是数1,自变量x必须在指数的位置上,且不能是x的其他表达式,否则,就不是指数函数。 =='''简介'''== e的定义:e=lim(x→∞)(1+1/x)^x=2.718281828... 设a>0,a!=1----(log a(x))'指数[[函数]] =lim(Δx→∞)((log a(x+Δx)-log a(x))/Δx) =lim(Δx→∞)(1/x*x/Δx*log a((x+Δx)/x)) =lim(Δx→∞)(1/x*log a((1+Δx/x)^(x/Δx))) =1/x*lim(Δx→∞)(log a((1+Δx/x)^(x/Δx))) =1/x*log a(lim(Δx→0)(1+Δx/x)^(x/Δx)) =1/x*log a(e)特殊的, 当a=e时, (log a(x))'=(ln x)'=1/x。 设y=a^x两边取对数ln y=xln a两边对求x 导y'/y=ln ay'=yln a=a^xln a特殊地, 当a=e时,y'=(a^x)'=(e^x)'=e^xln e=e^x。 =='''评价'''== 指数函数是数学中重要的函数。应用到值e上的这个函数写为exp(x)。还可以等价的写为e,这里的e是数学常数,就是自然对数的底数,近似等于 2.718281828,还称为欧拉数。a一定大于零,当a>1时,指数函数对于x的负数值非常平坦,对于x的正数值迅速攀升,在 x等于 0 的时候y等于 1。当0<a<1时,指数函数对于x的负数值迅速攀升,对于x的正数值非常平坦,在x等于 0 的时候y等于 1。在x处的切线的斜率等于此处y的值乘上lna。即由导数知识:d(a^x)/dx=a^x*ln(a)。 作为实数变量x的函数,y=e^x 的图像总是正的(在x轴之上)并递增(从左向右看)。它永不触及x轴,尽管它可以任意程度的靠近它(所以,x轴是这个图像的水平渐近线。它的反函数是自然对数ln(x),它定义在所有正数x上。 有时,尤其是在科学中,术语指数函数更一般性的用于形如k*a^x 的指数函数函数,这里的 a 叫做“底数”,是不等于 1 的任何正实数。本文最初集中于带有底数为欧拉数e 的指数函数。 指数函数的一般形式为y=a^x(a>0且≠1) (x∈R),从上面我们关于幂函数的讨论就可以知道,要想使得x能够取整个实数集合为定义域,则只有使得a>0且a≠1 在函数y=a^x中可以看到: (1) 指数函数的定义域为所有实数的集合,这里的前提是a大于0且不等于1。对于a不大于0的情况,则必然使得函数的定义域不存在连续的区间,因此我们不予考虑,同时a等于0函数无意义一般也不考虑。 (2) 指数函数的值域为大于0的实数集合。 (3) 函数图形都是下凸的。 (4) a>1时,则指数函数单调递增;若0<a<1,则为单调递减的。 (5) 可以看到一个显然的规律,就是当a从0趋向于无穷大的指数函数过程中(不等于0),函数的曲线从分别接近于Y轴与X轴的正半轴的单调递减函数的位置,趋向分别接近于Y轴的正半轴与X轴的负半轴的单调递增函数的位置。其中水平直线y=1是从递减到递增的一个过渡位置。 (6) 函数总是在某一个方向上无限趋向于X轴,并且永不相交。 (7) 函数总是通过(0,1)这点,(若y=a^x+b,则函数定过点(0,1+b) (8) 指数函数无界。 (9) 指数函数既不是奇函数也不是偶函数。 (10)当两个指数函数中的a互为倒数时,两个函数关于y轴对称,但这两个函数都不具有奇偶性。 (11)当指数函数中的自变量与因变量一一映射时,指数函数具有反函数。<ref>[https://baijiahao.baidu.com/s?id=1742314896478606258&wfr=spider&for=pc 指数函数]搜狗</ref> =='''参考文献'''== [[Category:310 數學總論]]
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