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孙子算经

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作品名称: 孙子算经 创作年代: 四、五世纪 卷 数: 三卷 类 别: 数学 释 义: 《孙子算经》是中国古代重要的数学著作 目 的: 讨论了度量衡的单位和筹算的制度和方法

《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，成书大约在四、五世纪，也就是大约一千五百年前，作者生平和编写年不详。传本的《孙子算经》共三卷。卷上叙述算筹记数的纵横相间制度和筹算乘除法，卷中举例说明筹算分数算法和筹算开平方法。卷下第31题，可谓是后世“鸡兔同笼”题的始祖，后来传到日本，变成“鹤龟算”。书中是这样叙述的：“今有雉兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问雉兔各几何？这四句话的意思是：有若干只鸡兔同在一个笼子里，从上面数，有35个头；从下面数，有94只脚。求笼中各有几只鸡和兔？ 此题被义务教育课程标准实验教科书人教版数学五年级上册选为补充教材并且在部分五~六年级的课外习题所用。

简介

具有重大意义的是卷下第26题：“今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何？答曰：‘二十三’”。《孙子算经》不但提供了答案，而且还给出了解法。南宋大数学家秦九韶则进一步开创了对一次同余式理论的研究工作，推广“物不知数”的问题。德国数学家高斯[K.F. Gauss.公元1777-1855年]于公元1801年出版的《算术探究》中明确地写出了上述定理。公元1852年，英国基督教士伟烈亚士[Alexander Wylie公元1815-1887年]将《孙子算经》“物不知数”问题的解法传到欧洲，公元1874年马蒂生[L.Mathiesen]指出孙子的解法符合高斯的定理，从而在西方的数学史里将这一个定理称为“中国的剩余定理”[Chinese remainder theorem]。另外还有一道，曰：“巍巍古寺在山林，不知寺内几多僧。三百六十四只碗，看看用尽不差争。三人共食一碗饭，四人共吃一碗羹。请问先生明算者，算来寺内几多僧。”

作者简介

卷下“今有佛书”一问，说明孙子算经的作者和孙子兵法的孙子是不同的人。

孙子曰：夫算者：天地之经纬，群生之园首，五常之本末，阴阳之父母，星辰之建号，三光之表里，五行之准平，四时之终始，万物之祖宗，六艺之纲记。稽群伦之聚散，考二气之降升，推寒暑之迭运，步远近之殊同，观天道精微之兆基，察地理从横之长短，采神只之所在，极成败之符验。穷道德之理，究性命之情。立规矩，准方圆，谨法度，约尺丈，立权衡，平重轻，剖毫厘，析泰絫。历亿载而不朽，施八极而无疆。散之者，富有余；背之者，贫且寠。心开者，幼冲而即悟；意闭者，皓首而难精。夫欲学之者，必务量能揆己，志在所专，如是，则焉有不成者哉！

全书共分三卷：

上卷

详细的讨论了度量衡的单位和筹算的制度和方法。

度量衡包括长度（度），质量（量），体积/容积（衡）。长度的基本单位是蚕吐出的一根丝（直径为一忽），以上为十进。小的长度单 位包括忽，丝，毫，牦，分，寸，尺，丈，引，端（50引）。辅助单位包括匹（40尺），步（6尺），亩（240步。古代以方形周长代面积），里（300步）。

质量的基本单位是一颗黍的质量，以上是絫，铢，两（24铢），筋（即斤，16两），钧（30斤），石（4钧）。

体积和容积的基本单位是一颗粟的体积。以上是圭（6粟），撮，抄，勺，合，升，斗，斛。

大数的名称，一万万为亿，以上每一万倍称为兆，京，陔，秭，穣，沟，涧，正，载。

圆周率约等于三（周三径一），根号2约等于1.4（方五斜七）。

以下还记载了白银，铅，铜，铁，玉，石等生产生活和经济生活中常见的物质的密度。

筹算在春秋战国时代已经运用，但在古代中国数学著作如算数书、九章算术等书中都不曾记载算筹的使用方法；孙子算经第一次详细地记述筹算的布算规则：“凡算之法，先识其位，一纵十横，百立千僵，千十相望，百万相当”，此外又说明用空位表示零。

在进行乘法时，“凡乘之法，重置其位。上下相观，上位有十步至十，有百步至百，有千步至千。以上命下，所得之数列于中位。言十即过，不满自如。上位乘讫者先去之。下位乘讫者则俱退之。六不积，五不只。土下相乘，至尽则已。”《孙子算经》明确说明“先识其位”的位值概念，和“逢十进一”的十进位制。

除法法则：“凡除之法：与乘正异乘得在中央，除得在上方，假令六为法，百为实，以六除百，当进之二等，令在正百下。以六除一，则法多而实少，不可除，故当退就十位，以法除实，言一六而折百为四十，故可除。若实多法少，自当百之，不当复退，故或步法十者，置于十百位（头位有空绝者，法退二位。余法皆如乘时，实有余者，以法命之，以法为母， 实余为子。”）

在此之后记载了谷物换算成精谷物和米饭的经验比例：粟米打成粝米的体积是五分之三，粝米煮成米饭的体积是二分之五。

第一章的最后是乘法表（从九九八十一开始到一一得一）和每个乘法结果的乘方表。用表格记载下来如下：

中卷

主要是关于分数的应用题，包括面积、体积、等比数列等计算题，大致都在《九章》中论述的范围之内；

下卷

对后世的影响最为深远，如下卷第31题即著名的“鸡兔同笼”问题，后传至日本，被改为“鹤龟算”。

今有雉、兔同笼，上有三十五头，下有九十四足。问：雉、兔各几何？答曰：雉二十 三，兔一十二。

术曰：上置三十五头，下置九十四足。半其足，得四十七，以少减多，再命之，上三 除下三，上五除下五，下有一除上一，下有二除上 二，即得。又术曰：上置头，下置足，半其足，以头除足，以足除头，即得。

算法译文：第一行放好头的数目，第二行放好脚的数目。将脚的数目除以二，得四十七。以较少的头数减较多的”脚数的一半“，得十二（现在我们知道这就是兔的数目），将第一行的算筹数目根据第二行得出的数目依次取去，即得鸡的数目。

另一种算法是：第一行放头的数目，第二行放脚的数目，将脚的数目除以二，从脚的数目的一半减去头的数目，再从头的数目减去刚才所获得的结果，即得鸡的数目。

下卷27题则是”鸡兔同笼“的一种推广。即使是头多于一个的奇异生物也能计算它们的数量。

今有兽，六首四足；禽，四首二足，上有七十六首，下有四十六足。问：禽、兽各几何？答曰：八兽、七禽。

术曰：倍足以减首，余半之，即兽；以四乘兽，减足，余半之，即禽。

算法译文：将脚的总数乘以二，减去头的数目，差除以二，得到兽的数目。将兽的数目乘以四，减去脚的数目，除以二，得到禽的数目。

下卷第28题“物不知数”为后来的“大衍求一术”的起源，被看作是中国数学史上最有创造性地成就之一，称为中国余数定理：今有物，不知其数。三三数之，剩二；五五数之，剩三；七七数之，剩二。问：物几 何？答曰：二十三。

术曰：三三数之，剩二，置一百四十；五五数之，剩三，置六十三；七七数之，剩二 ，置三十。并之，得二百三十三，以二百一十减之 ，即得。凡三三数之，剩一，则置七十 ；五五数之，剩一，则置二十一；七七数之，剩一，则置十五。一百六以上，以一百五 减之，即得。

下卷最后一题还提供了一种卜算胎儿性别的”方法“，颇有些现代”校验算法“的旨趣，一并记之如下：

今有孕妇，行年二十九岁。难九月，未知所生？答曰：生男。

术曰：置四十九加难月，减行年，所余以天除一，地除二，人除三，四时除四，五行除五，六律除六，七星除七，八风除八，九州除九。其不尽者，奇则为男，耦则为女。

算法译文：基数七七四十九，加上孕妇的孕期（九月，得五十八），减去孕妇的年龄（二十九，得二十九）。计算结果连续除以一到九的整数。如果最后的余数是奇数就是生男，偶数就是生女。本例的结果是除到4时余1，不能继续除以5，所以孕妇生的是男孩。

《孙子算经》有新加坡大学数学教授蓝丽蓉的英译本。

社会影响

孙子算经，中国南北朝数术著作，《算经十书》之一。

荡杯问题

在中国古算书中，《孙子算经》一直在我国数史占有重要的地位，其中的“盈不足术”、“荡杯问题”等都有着许多有趣而又不乏技巧算术程式。

孙子算经。卷下第十七问给我们描述的就是着名的“荡杯问题”的程式。题曰：“今有妇人河上荡杯。津吏问曰：‘杯何以多？’妇人曰 ：‘有客。’津吏曰：‘客几何？’妇人曰：‘二人共饭，三人共羹，四人共肉，凡用杯六十五。不知客几何？”

很明显，这里告诉我们这次洗碗事件，要处理的是65个碗共有多少人的问题。其中有能了解客数的信息是2人共碗饭，3人共碗羹，4人共 碗肉。通过这几个数值，很自然就能解决客数问题。因为客数是固定值，因此将其列成今式为N/2+N/3+N/4=65，易得客数六十人。

而该题的解法与今解如出一辙，其有“术曰：置六十五杯，以一十二乘之，得七百八十，以十三除之，即得”可证。