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| 全序關係 |
在數學中，集合 X 上的全序關係（Total order），簡稱全序、又名線性序（linear order）、簡單序（simple order），或（非嚴格）排序（(non-strict) ordering），是在 X 上的反對稱的、傳遞的和完全的任何二元關係。
簡介
偏序和全序是公里集合論中的概念。首先需要知道什麼是二元關係。比如實數中的「大小」關係，集合的集合中的「包含」關係就是兩種二元關係。所謂偏序，即偏序關係，是一種二元關係。所謂全序，即全序關係，自然也是一種二元關係。全序是指，集合中的任兩個元素之間都可以比較的關係。比如實數中的任兩個數都可以比較大小，那麼「大小」就是實數集的一個全序關係。偏序是指，集合中只有部分元素之間可以比較的關係。比如複數集中並不是所有的數都可以比較大小，那麼「大小」就是複數集的一個偏序關係。顯然，全序關係必是偏序關係。反之不成立。
評價
字母表的字母按標準字典次序排序，比如 A < B < C 等等。把一個全序限制到其全序集合的一個子集上。所有的兩個元素都是可比較的任何偏序集合 X (就是說，如果 a,b 是 X 的成員，則 a≤b 或 b≤a 中的一個為真或二者都為真)。由基數或序數(實際上是良序)組成的任何集合。如果 X 是任何集合，而 f 是從 X 到一個全序集合的單射函數，則 f 誘導出 X 上的一個全序：規定 x1 < x2 當且僅當 f(x1) < f(x2)。設有某個集族，其成員都是用序數為索引的全序集合，然後把這集族上取的笛卡爾積中的有序對按字典序排序，那麽，這字典序是一全序。例如，若有一個集合由一些詞語組成，按字母表把詞語排序的話會是一全序。舉個實例，我們規定"bird"先於"cat"。這可視為是向字母表加入空格符號""（定義""先於所有字母），得到集合A，然後對其自身取可數次笛卡爾積，得到Aω。"bird"可理解為Aω里的序對("b","i","r","d","","",...)，"cat"則是("c","a","t","","","",...)。從而{"bird","cat"}成為Aω的一個子集，把Aω上的字典序限制到這字集，便得出"bird"<"cat"。實數集和自然數集、整數集、有理數集（作為實數集的子集），用平常的小於(<)或大於(>)關係排序都是（嚴格）全序的。它們都可以被證明是帶有特定性質的全序集合的唯一的（在同構意義下的）最小實例（一個全序 A 被稱為是帶有特定性質的最小全序，即意味着只要別的全序 B 有這個性質，就有從 A 到 B 的子集的一個序同構)：自然數集是最小的沒有上界的全序集合。整數集是最小的沒有上界也沒有下界的全序集合。有理數集是最小的在實數集內稠密的全序集合，這裡的稠密性是指對於任意實數a, b，都存在有理數q使得a<q<b。實數集是最小的無界連通（序拓撲的意義下）的全序集合。[1]