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圆周角

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中文名;圆周角

外文名;subtended angle at the circumference

特点;顶点在圆上,两边为圆的两条弦。

学科;数学

圆周角最初叫詹妮特角(Jeanit),因为它的顶点在圆周上,于是就将其更名为圆周角。

顶点在圆上,并且两边都和圆相交的角叫做圆周角,这一定义实质上反映的是圆周角所具备的两个特征:①顶点在圆上,②两边都和圆相交。这两个条件缺一不可。[1]

简述

圆周角(angle of circumference)是指顶点在圆上,且两边和圆相交的角。在同圆或等圆中,两圆周角相等,则其所对的弦(或弧)也相等;反之,等弧所对的圆周角相等。而等弦所对圆周角相等或相补,圆周角的度数等于它所对弧的度数的一半。

对于一个圆周角,角的内部必然夹了一段圆弧,通常把圆周角说成是这一弧上的圆周角,或说这一弧所对的圆周角。另外,角的外部也有一段圆弧,我们还把圆周角说成是这一弧所含的圆周角。

定理推论

圆周角定理:在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆周角都等于这条弧所对的圆心角的一半。证明:

情况一:先考虑一种特殊情况——圆心O在圆周角∠BAC的边上(如图一).由三角形外角性质有

情况二:如果圆心O在圆周角∠BAC的内部(如图二),可以划归为前一种类型——引直径AD。∠BAD,∠CAD都是圆心在边上的圆周角。则有:

两式相加即得

.情况三:如果圆心O在圆周角∠BAC的外部(如图三),仍可以 划归为前一种类型——引直径AD。这时∠BAD,∠CAD都是圆心在边上的圆周角。则有:

两式相减即得

这样,即完成了定理的证明。圆周角定理有如下推论:

推论1:同弧或等弧所对的圆周角相等;同圆或等圆中,相等的圆周角所对的弧也相等.联系圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系.对于在推理论证及相关计算中有着广泛的用途.

推论2:半圆(或直径)所对的圆周角是直角,90°的圆周角所对的弦是直径。

推论3:如果三角形一边上的中线等于这边的一半,那么这个三角形是直角三角形。这两个推论是判定直角或直角三角形的又一依据,为在圆中确定直角,构造垂直关系,创造了条件,因此它是圆中一个很重要的性质。

命题证明

命题1: 在圆中作弦MN,于直线MN同侧取点A、B、C,使点A、B、C分别在圆内、上、外,将点A、B、C分别与点M、N连结,则有∠A>∠B>∠C。

命题2: 顶点在圆外的角(两边与圆相交)的度数等于其所截两弧度数差的一半;顶点在圆内的角(两边与圆相交)的度数等于其及其对顶角所截弧度数和的一半。

证明:如图,过C作CE//AB,交圆于E,(如图四)

则有∠P=∠DCE,弧AC=弧BE(圆中两平行弦所夹弧相等)

而∠DCE的度数等于弧DE的一半,弧DE=弧BD-弧BE=弧BD-弧AC

所以∠DCE的度数等于“弧BD-弧AC”的一半

即“顶点在圆外的角(两边与圆相交)的度数等于其所截两弧度数差的一半”

另外也可以连接BC,则∠P=∠BCD-∠B

∠BCD的度数等于弧BD的度数的一半

∠B的度数等于弧AC的度数的一半

同样得“顶点在圆外的角(两边与圆相交)的度数等于其所截两弧度数差的一半”

圆内角的证明完全类似:

过C作CE//AB,交圆于E,

则有∠APC=∠C,弧AC=弧BE(圆中两平行弦所夹弧相等

而∠C的度数等于弧DE的一半,

弧DE=弧BD+弧BE=弧BD+弧AC

所以∠APC的度数等于“弧BD+弧AC”的一半

即“顶点在圆内的角(两边与圆相交)的度数等于其所截两弧度数和的一半”

另外也可以连接BC进行证明

参考来源

圆周角的定义(点拨数学9上ZJ)

参考资料

  1. 圆周角定理 ,百度 , 2011-05-23