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拓扑动力系统

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拓扑动力系统 topological dynamic system 又称抽象动力系统，是具有连续性质的动力系统。它是通过拓扑映射（不一定通过微分方程）来定义的。设常微分系统 (*) 的右侧函数，且满足解的惟一性条件，为n维欧几里得空间。由于S(x)与t无关，不失一般性，可设(*)的每个解φ(x,t)在整个实轴I上有定义，于是它确定了×I到的变换。

简介

拓扑动力系统 topological dynamic system 又称抽象动力系统，是动力系统的一个组成部分。所谓拓扑动力系统，是指拓扑空间(一般是度量空间)上的动力系统。它通常包含流、离散动力系统、半流及离散半动力系统。主要是从拓扑的观点研究系统的不变集的结构及其轨道的性质。从20世纪70年代以来，由于微分动力系统研究的发展和深入，极大地推动了拓扑动力系统，特别是一维连续映射的研究，并取得了相当丰富和重要的成果。

评价

为了更一般地研究问题，可以抛开常微分系统，并假设空间是一般的度量空间R。设φ(x,t)是R×I到R且满足性质①、②、③的单参数连续变换群，则所有这些变换的全体称为拓扑动力系统或抽象动力系统,记作,其中参数t代表时间。点集{φ(x,t),t∈I}称为过点x的轨线或轨道,记作φ(x,I)。仿此,称为正半轨线，为负半轨线。φ(x；为弧段。当t∈I(半群),称为半动力系统或半流；当t∈N（整数加群）,称为离散动力系统或离散流。若φ(x,t)=x，对一切t∈I,则称点x为休止点，若φ(x，t+ω)=φ(x,t)，对一切t∈I，其中ω>0，则称φ(x,t)为周期轨线,满足上述等式的最小正数ω，称为周期轨线的周期仿此，有负向或双侧的远离、渐近和泊松稳定轨线，后者分别简称为p或p稳定。休止点和周期轨线是p稳定的。R上的连续动力系统的 p稳定轨线只能是休止点或周期轨线，且其上的 p或p 稳定轨线必是p稳定轨线。而当R≠R时,情形就完全不同了。如前述的T2上被奇点切成两段的轨线, 一条是p稳定的, 另一条是p稳定的,而T上其余的都是p 稳定的轨线。比起远离和渐近轨线来，p 稳定轨线是较复杂和较有兴趣的。从天体力学观点看，p稳定轨线在它的运行过程中,将不断地在其轨线的任一点的任意小邻域内再现。与此现象相反的是下面的情形。