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| 拓撲動力系統 |
拓撲動力系統 topological dynamic system 又稱抽象動力系統，是具有連續性質的動力系統。它是通過拓撲映射（不一定通過微分方程）來定義的。設常微分系統 (*) 的右側函數，且滿足解的惟一性條件，為n維歐幾里得空間。由於S(x)與t無關，不失一般性，可設(*)的每個解φ(x,t)在整個實軸I上有定義，於是它確定了×I到的變換。
簡介
拓撲動力系統 topological dynamic system 又稱抽象動力系統，是動力系統的一個組成部分。所謂拓撲動力系統，是指拓撲空間(一般是度量空間)上的動力系統。它通常包含流、離散動力系統、半流及離散半動力系統。主要是從拓撲的觀點研究系統的不變集的結構及其軌道的性質。從20世紀70年代以來，由於微分動力系統研究的發展和深入，極大地推動了拓撲動力系統，特別是一維連續映射的研究，並取得了相當豐富和重要的成果。
評價
為了更一般地研究問題，可以拋開常微分系統，並假設空間是一般的度量空間R。設φ(x,t)是R×I到R且滿足性質①、②、③的單參數連續變換群，則所有這些變換的全體稱為拓撲動力系統或抽象動力系統,記作,其中參數t代表時間。點集{φ(x,t),t∈I}稱為過點x的軌線或軌道,記作φ(x,I)。仿此,稱為正半軌線，為負半軌線。φ(x；為弧段。當t∈I(半群),稱為半動力系統或半流；當t∈N（整數加群）,稱為離散動力系統或離散流。若φ(x,t)=x，對一切t∈I,則稱點x為休止點，若φ(x，t+ω)=φ(x,t)，對一切t∈I，其中ω>0，則稱φ(x,t)為周期軌線,滿足上述等式的最小正數ω，稱為周期軌線的周期仿此，有負向或雙側的遠離、漸近和泊松穩定軌線，後者分別簡稱為p或p穩定。休止點和周期軌線是p穩定的。R上的連續動力系統的 p穩定軌線只能是休止點或周期軌線，且其上的 p或p 穩定軌線必是p穩定軌線。而當R≠R時,情形就完全不同了。如前述的T2上被奇點切成兩段的軌線, 一條是p穩定的, 另一條是p穩定的,而T上其餘的都是p 穩定的軌線。比起遠離和漸近軌線來，p 穩定軌線是較複雜和較有興趣的。從天體力學觀點看，p穩定軌線在它的運行過程中,將不斷地在其軌線的任一點的任意小鄰域內再現。與此現象相反的是下面的情形。[1]