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素数普遍公式

埃特拉斯特尼筛法

缘起

公元前300年古希腊的埃拉托斯特尼创造了一种筛法，可以产生任意大的数以内的全部素数：

要得到不大于某个自然数 n 的所有素数，只要在2— n 中将不大于√n素数的倍数全部划去即可。

上述筛法可以总结为：

1，如果 n 是合数，则它有一个因子d 满足1 < d ≤√n。

2，如果自然数n是一个素数，当且仅当它不能被不大于√n任何素数整除。 可以把上面的汉字内容等价转换成为英语字母表示：

公式形式：

n=P₁M₁+A₁=P₂M₂+A₂=。.=PrMr+Ar。。。。。.(1)

其中P₁，P₂，。。，Pr表示顺序素数2，3，5，。。。Ai≠0。

这样解得的n，若n＜P^2r+₁，则n是一个素数。

我们可以把（1）式内容等价转换同余式组表示：

n≡A₁(modP₁)，n≡A₂(modP₂)，。.n≡Ar(modPr)。。。。.（2）

由于（2）的模P₁，P₂，，。.，Pr都是素数，因此两两互素，根据孙子定理(中国剩余定理）知，对于给定的A₁，A₂，，。。，Ar，（2）式在P₁P₂。.Pr范围内有唯一解。

人类为了寻找这个公式，花费了2000多年。

范例

k=1时，n=2m₁+1，解得n=3，5，7。求得了（3，3^²）区间的全部素数。

k=2时，n=2m₁+1=3m₂+1，解得n=7，13，19； n=2m₁+1=3m₂+2，

解得n=5，11，17，23。

求得了（5，5²）区间的全部素数。

k=3时	5m3+1	5m3+2	5m3+3	5m3+4
n=2m1+1=3m2+1=	31	7,37	13,43	19
n=2m1+1=3m2+2=	11,41	17,47	23	29

求得了（7,7²）区间的全部素数。

仿此下去可以求得任意大的数以内的全部素数。并且一个不漏地求得。 对于所有可能的a₁, a₂， .... , a_k值，(1)和(2)式在p₁p₂...p_k范围内，

有（p₁-1）（p₂-1）(<p₃-1)...（p_k-1） 个解。参见天津师范大学【中等数学】1999年2期（谈谈素数表达式，吴振奎）或者【品数学】，清华大学出版社[[File:素数公式.jpg|

素数普遍公式的意义

 埃拉托赛尼筛法是一个相对独立的实践活动，而埃拉托赛尼的素数普遍公式是一种理论。（实践先于理论，实践是理论的源泉）。如果实践是对的，行之有效的，那么他可以作为论据支持公式。公式的对与错，看他是否与方法吻合，（与经验事实相吻合）。方法是公式的内容，公式是方法的理论。

在理论的内容是真的前提下，公式是可靠的，一个公式能够产生出来，表明具有了相应的三大条件：

一，相应的观念和方法已经产生； 二，相应的实践条件和手段已经具备； 三，科学劳动者能够正确无误地进行操作。

方法只有借助公式才能获得确定的含义，方法是构成公式的成分。公式是具有一定结构的整体，这是公式自身存在与发展的前提。公式是一种体系化和逻辑化了的认识，而体系化规范化的方法是公式的灵魂。理论和公式的意义恰恰不在于他的形式，而在于他形成之后的运行。在于他作为某种因素而导出另外的结果。公式是方法的收集，方法的反应。仅有方法，无法拓展新的实践和认识，生命力受到局限，只有借助于公式才能向更深层次参透，因为方法是一个层次，他主要是描述性的，例如，埃拉托赛尼筛法是怎样寻找素数。而公式是理论认识，说明“为什么”，相对来说，他超过了个别。 人以理论的方式，观念地把握世界，人以“公式”的形式，观念地把握方法。

就公式产生和存在的意义和使命而言，就是要朝着实践方向作认识总过程的再认识（再次飞跃），以创造还未知的外部世界。总之，只有在一切解释皆真的公式，才能算普效的公式，或者逻辑真的公式。要判定一个公式是否可推演出，即是否可证，这是纯形式的问题；要断言一个公式是否真，必须依赖公式以外的解释和模型------即这个公式和方法是否可以做等价转换。下面谈谈素数普遍公式的一些具体作用：

（一）素数普遍公式是素数定理（若N不能被不大于的任何素数整除，则N是素数）和埃拉托赛尼筛法的表现形式，表明在一定条件下和范围内()主观和客观上的符合。因而是科学真理的一种表现形式。素数普遍公式提供了广泛的概念框架，并且概括出其中普遍的不变关系。

（二）素数普遍公式有助于科学概念和素数理论的形成。素数普遍公式是明确其他科学概念（例如哥德巴赫猜想）的一种有效手段。将来许多科学概念的内涵都会通过素数普遍概念公式表现出来，在素数理论中，素数普遍公式起着极大的作用，他是核心和灵魂。

（三）素数普遍公式有解释和预见功能，由于素数普遍公式是从整体上解释素数性质的，所以常常是演绎推理模型中的大前提（全称），也是预见的先行条件。

（四），在数学论证中，数学证明的本质是用有限驾驭无穷，必须首先找出无穷对象的规律，用公式概括起来，既正面刻画后，才能去证明更深刻的问题。总之，没有素数普遍公式，就不能去催促新的思想。例如有些人用复变函数把简单的素数理论弄的面目全非，违背了事物的真实性，造成了惊心动魄的场面却解决不了实际问题。正如冯。诺伊曼指出的那样：“当一门数学离他的源泉越远，他就变的愈加娇柔造作。欧几里德是第一个提出素数普遍公式的人，为此，人类这一步却跨越了两千年，这是值得深思的。希尔伯特对数学成果的评价，那些能把过去统一起来而同时又为未来的拓展开辟了广阔的道路的概念和方法，应该算是最为深刻的概念和方法。素数普遍公式就是一种承上启下，继往开来的思想。