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素數普遍公式

埃特拉斯特尼篩法

緣起

公元前300年古希臘的埃拉托斯特尼創造了一種篩法，可以產生任意大的數以內的全部素數：

要得到不大於某個自然數 n 的所有素數，只要在2— n 中將不大於√n素數的倍數全部划去即可。

上述篩法可以總結為：

1，如果 n 是合數，則它有一個因子d 滿足1 < d ≤√n。

2，如果自然數n是一個素數，當且僅當它不能被不大於√n任何素數整除。 可以把上面的漢字內容等價轉換成為英語字母表示：

公式形式：

n=P₁M₁+A₁=P₂M₂+A₂=。.=PrMr+Ar。。。。。.(1)

其中P₁，P₂，。。，Pr表示順序素數2，3，5，。。。Ai≠0。

這樣解得的n，若n＜P^2r+₁，則n是一個素數。

我們可以把（1）式內容等價轉換同餘式組表示：

n≡A₁(modP₁)，n≡A₂(modP₂)，。.n≡Ar(modPr)。。。。.（2）

由於（2）的模P₁，P₂，，。.，Pr都是素數，因此兩兩互素，根據孫子定理(中國剩餘定理）知，對於給定的A₁，A₂，，。。，Ar，（2）式在P₁P₂。.Pr範圍內有唯一解。

人類為了尋找這個公式，花費了2000多年。

範例

k=1時，n=2m₁+1，解得n=3，5，7。求得了（3，3^²）區間的全部素數。

k=2時，n=2m₁+1=3m₂+1，解得n=7，13，19； n=2m₁+1=3m₂+2，

解得n=5，11，17，23。

求得了（5，5²）區間的全部素數。

k=3時	5m3+1	5m3+2	5m3+3	5m3+4
n=2m1+1=3m2+1=	31	7,37	13,43	19
n=2m1+1=3m2+2=	11,41	17,47	23	29

求得了（7,7²）區間的全部素數。

仿此下去可以求得任意大的數以內的全部素數。並且一個不漏地求得。 對於所有可能的a₁, a₂， .... , a_k值，(1)和(2)式在p₁p₂...p_k範圍內，

有（p₁-1）（p₂-1）(<p₃-1)...（p_k-1） 個解。參見天津師範大學【中等數學】1999年2期（談談素數表達式，吳振奎）或者【品數學】，清華大學出版社[[File:素數公式.jpg|

素數普遍公式的意義

 埃拉托赛尼筛法是一个相对独立的实践活动，而埃拉托赛尼的素数普遍公式是一种理论。（实践先于理论，实践是理论的源泉）。如果实践是对的，行之有效的，那么他可以作为论据支持公式。公式的对与错，看他是否与方法吻合，（与经验事实相吻合）。方法是公式的内容，公式是方法的理论。

在理論的內容是真的前提下，公式是可靠的，一個公式能夠產生出來，表明具有了相應的三大條件：

一，相應的觀念和方法已經產生； 二，相應的實踐條件和手段已經具備； 三，科學勞動者能夠正確無誤地進行操作。

方法只有藉助公式才能獲得確定的含義，方法是構成公式的成分。公式是具有一定結構的整體，這是公式自身存在與發展的前提。公式是一種體系化和邏輯化了的認識，而體系化規範化的方法是公式的靈魂。理論和公式的意義恰恰不在於他的形式，而在於他形成之後的運行。在於他作為某種因素而導出另外的結果。公式是方法的收集，方法的反應。僅有方法，無法拓展新的實踐和認識，生命力受到局限，只有藉助於公式才能向更深層次參透，因為方法是一個層次，他主要是描述性的，例如，埃拉托賽尼篩法是怎樣尋找素數。而公式是理論認識，說明「為什麼」，相對來說，他超過了個別。 人以理論的方式，觀念地把握世界，人以「公式」的形式，觀念地把握方法。

就公式產生和存在的意義和使命而言，就是要朝着實踐方向作認識總過程的再認識（再次飛躍），以創造還未知的外部世界。總之，只有在一切解釋皆真的公式，才能算普效的公式，或者邏輯真的公式。要判定一個公式是否可推演出，即是否可證，這是純形式的問題；要斷言一個公式是否真，必須依賴公式以外的解釋和模型------即這個公式和方法是否可以做等價轉換。下面談談素數普遍公式的一些具體作用：

（一）素數普遍公式是素數定理（若N不能被不大於的任何素數整除，則N是素數）和埃拉托賽尼篩法的表現形式，表明在一定條件下和範圍內()主觀和客觀上的符合。因而是科學真理的一種表現形式。素數普遍公式提供了廣泛的概念框架，並且概括出其中普遍的不變關係。

（二）素數普遍公式有助於科學概念和素數理論的形成。素數普遍公式是明確其他科學概念（例如哥德巴赫猜想）的一種有效手段。將來許多科學概念的內涵都會通過素數普遍概念公式表現出來，在素數理論中，素數普遍公式起着極大的作用，他是核心和靈魂。

（三）素數普遍公式有解釋和預見功能，由於素數普遍公式是從整體上解釋素數性質的，所以常常是演繹推理模型中的大前提（全稱），也是預見的先行條件。

（四），在數學論證中，數學證明的本質是用有限駕馭無窮，必須首先找出無窮對象的規律，用公式概括起來，既正面刻畫後，才能去證明更深刻的問題。總之，沒有素數普遍公式，就不能去催促新的思想。例如有些人用複變函數把簡單的素數理論弄的面目全非，違背了事物的真實性，造成了驚心動魄的場面卻解決不了實際問題。正如馮。諾伊曼指出的那樣：「當一門數學離他的源泉越遠，他就變的愈加嬌柔造作。歐幾里德是第一個提出素數普遍公式的人，為此，人類這一步卻跨越了兩千年，這是值得深思的。希爾伯特對數學成果的評價，那些能把過去統一起來而同時又為未來的拓展開闢了廣闊的道路的概念和方法，應該算是最為深刻的概念和方法。素數普遍公式就是一種承上啟下，繼往開來的思想。