不確定性原理

不確定性原理 圖片來自知乎

於量子力學裏，不確定性原理（uncertainty principle，又譯測不準原理）表明，粒子的位置與動量不可同時被確定，位置的不確定性越小，則動量的不確定性越大，反之亦然。對於不同的案例，不確定性的內涵也不一樣，它可以是觀察者對於某種數量的信息的缺乏程度，也可以是對於某種數量的測量誤差大小，或者是一個系綜的類似製備的系統所具有的統計學擴散數值。 維爾納·海森堡於1927年發表論文《論量子理論運動學與力學的物理內涵》給出這原理的原本啟發式論述，希望能夠成功地定性分析與表述簡單量子實驗的物理性質。這原理又稱為「海森堡不确定性原理」。同年稍後，厄爾·肯納德|Earl Kennard嚴格地數學表述出位置與動量的不確定性關係式。兩年後，霍華德·羅伯森|Howard Robertson又將肯納德的關係式加以推廣。

类似的不确定性關係式也存在于能量和时间、角动量和角度等物理量之间。由於不確定性原理是量子力學的基要理論，很多一般實驗都時常會涉及到關於它的一些問題。有些實驗會特別檢驗這原理或類似的原理。例如，檢驗發生於超導系統或量子光學系統的「數字－相位不確定性原理」。對於不確定性原理的相關研究可以用來發展引力波干涉儀所需要的低噪聲科技。

目录

歷史

1925年6月，海森堡在論文《運動與機械關係的量子理論重新詮釋》（Quantum-Theoretical Re-interpretation of Kinematic and Mechanical Relations）裏表述出矩陣力學。從此舊量子論漸趨式微，現代量子力學的時代正式開啟。矩陣力學大膽地假設，經典的運動概念不適用於量子層級，束縛在原子內部的電子並不具有明確定義的軌道，而是運動於模糊不清，無法觀察到的軌道，其對於時間的傅立葉變換 只涉及到因量子躍遷而產生的可以被觀察到的電磁輻射的離散頻率。

海森堡在論文裏提出，只有在實驗裏能夠觀察到的物理量才具有物理意義，才可以用理論描述其物理行為，其它都是無稽之談。因此，他刻意避開任何涉及粒子運動軌道的詳細計算，例如，粒子隨著時間而改變的確切運動位置，因為，這運動軌道是無法直接觀察到的，替代地，他專注於研究電子躍遷時，所發射出的電磁輻射的離散頻率和強度。他計算出代表位置與動量的無限矩陣。這些矩陣能夠正確地預測電子躍遷所發射出光波的強度。

同年6月，在閱讀了海森堡的論文之後，馬克斯·玻恩發現，海森堡的數學運算原來就是他在學生時代學到的矩陣微積分，另外，在分別表示位置與動量的兩個無限矩陣之間存在著一種很特別的關係──正則對易關係，以方程式表示為：

[x,\,p] = xp - px= i \hbar。

但是，他們並不了解這重要結果的意義，他們無法給予合理的詮釋。

1926年，海森堡任聘為哥本哈根大學尼爾斯·波耳研究所的講師，協助尼爾斯·波耳做研究。隔年，他發表了論文《論量子理論運動學與力學的物理內涵》（On the physical content of quantum theoretical kinematics and mechanics）。在這篇論文裏，他嚴格要求遵守實證主義：只有在可以設定的實驗環境下對於粒子的某種數量做測量，則這數量才具有物理意義，否則這數量不具有任何物理意義。他接著解釋，任何實驗測量都會遭遇誤差，因此，這數量的物理意義也只能被確定至某種程度。例如，假設使用顯微鏡來測量粒子的位置，對於粒子的位置的測量會不可避免地攪擾了粒子的動量，造成動量的不確定性。海森堡緊跟著給出他的不確定性原理：越精確地知道位置，則越不精確地知道動量，反之亦然。不確定性原理能夠直接地詮釋位置與動量的正則對易關係：假若測量位置不會攪擾動量，測量動量不會攪擾位置，則測量位置與動量不需要顧慮到先後關係，位置與動量的正則對易關係會變為<math>[x,\,p] = xp - px=0</math>。 在這篇論文裏，海森堡寫出公式

Delta x \Delta p\approx h。

這公式給出了任何位置測量所造成的最小無法避免的動量不確定值，但是他沒有給予\Delta x和\Delta p<定義。在海森堡的芝加哥講義裏，他又進一步改善了這關係式：

Delta x\Delta p\gtrsim h。

1927年，厄爾·肯納德|Earl Kennard首先證明了現代不等式：

Delta x\Delta p\ge\hbar/2；

其中，Delta x是位置標準差，Delta p是動量標準差，hbar是約化普朗克常數。

海森堡只給出關於高斯波包案例的不等式。

1929年，霍華德·羅伯森|Howard Robertson}}推導出基於對易關係的不確定關係式。