半質數
![]() |
數學中,兩個素數的乘積所得的自然數我們稱之為半素數(也叫雙素數,二次殆素數[1] )。開始的幾個半素數是4, 6, 9, 10, 14, 15, 21, 22, 25, 26, ... id=A001358它們包含1及自己在內合共有3或4個因數。
目錄
性質
除了自己本身外,半素數沒有其他合數因數。例如,1、2、13及26是半素數26的因數,其中只有26是合數。
對於非平方半素數n=pq(p\ne q),其歐拉函數的值varphi(n)(小於或等於n的正整數中與n互質的數的數目)可以用簡單的公式表達:
- varphi(n)=(p-1)(q-1)=n-(p+q)+1.
這個公式是RSA加密演算法半素數應用的重要部分。對於一個平方半素數,該公式又會簡化為:
- varphi(n)=p(p-1)=n-p.
應用
半素數在密碼學和數論中非常有用,最顯著的例子的是RSA加密演算法和隨機數發生器等公開密鑰加密應用。這些應用的基本原理是,計算兩素數相乘結果(一個半素數)的過程簡單,而反過來整數分解大半素數則比較困難。簡單的來說,雖然35很容易就可以被分解成5×7,但是要想分解很大的半素數就不是那麼容易了。RSA加密演算法中有一個稱為RSA-2048的半素數,有2,048位元,十進位有617位,RSA曾經公開懸賞200,000美元,給予成功將RSA-2048因數分解的人,迄2007年活動終止,未有人挑戰成功領取懸賞。
1974年,阿雷西博信息通過無線電信號被發向星團。其由1679個二進制數字組成,這些數字的用意是讓接收方將信息解析成位圖圖像。選擇數字<math>1679=23\cdot 73</math>是因為其是一個半素數,只存在一種構成矩形圖像的可能(up to 圖像平面的旋轉和反射)。
例子與種類
比100小的半素數有:
- 4, 6, 9, 10, 14, 15, 21, 22, 25, 26, 33, 34, 35, 38, 39, 46, 49, 51, 55, 57, 58, 62, 65, 69, 74, 77, 82, 85, 86, 87, 91, 93, 94, 95 A001358.
不是平方數的半素數被稱為離散、特異或非平方半素數,包括:
- 6, 10, 14, 15, 21, 22, 26, 33, 34, 35, 38, 39, 46, 51, 55, 57, 58, 62, 65, 69, 74, 77, 82, 85, 86, 87, 91, 93, 94, 95, ... A006881
半素數是<math>k=2</math>的<math>k</math>次殆素數(有且僅有<math>k</math>個質因數的數)。 但是有些數列將「半素數」解釋為一種更加寬泛的數,即最多有兩個質因數的數,包括:
- 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 9, 10, 11, 13, 14, 15, 17, 19, 21, 22, 23, 25, 26, 29, 31, 33, 34, 35, 37, 38, 39, 41, 43, 46, 47, 49, ... A037143