圓周角
圓周角 |
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中文名;圓周角 外文名;subtended angle at the circumference 特點;頂點在圓上,兩邊為圓的兩條弦。 學科;數學 |
圓周角最初叫詹妮特角(Jeanit),因為它的頂點在圓周上,於是就將其更名為圓周角。
頂點在圓上,並且兩邊都和圓相交的角叫做圓周角,這一定義實質上反映的是圓周角所具備的兩個特徵:①頂點在圓上,②兩邊都和圓相交。這兩個條件缺一不可。[1]
目錄
簡述
圓周角(angle of circumference)是指頂點在圓上,且兩邊和圓相交的角。在同圓或等圓中,兩圓周角相等,則其所對的弦(或弧)也相等;反之,等弧所對的圓周角相等。而等弦所對圓周角相等或相補,圓周角的度數等於它所對弧的度數的一半。
對於一個圓周角,角的內部必然夾了一段圓弧,通常把圓周角說成是這一弧上的圓周角,或說這一弧所對的圓周角。另外,角的外部也有一段圓弧,我們還把圓周角說成是這一弧所含的圓周角。
定理推論
圓周角定理:在同圓或等圓中,同弧或等弧所對的圓周角都等於這條弧所對的圓心角的一半。證明:
情況一:先考慮一種特殊情況——圓心O在圓周角∠BAC的邊上(如圖一).由三角形外角性質有
但
情況二:如果圓心O在圓周角∠BAC的內部(如圖二),可以劃歸為前一種類型——引直徑AD。∠BAD,∠CAD都是圓心在邊上的圓周角。則有:
兩式相加即得
.情況三:如果圓心O在圓周角∠BAC的外部(如圖三),仍可以 劃歸為前一種類型——引直徑AD。這時∠BAD,∠CAD都是圓心在邊上的圓周角。則有:
兩式相減即得
這樣,即完成了定理的證明。圓周角定理有如下推論:
推論1:同弧或等弧所對的圓周角相等;同圓或等圓中,相等的圓周角所對的弧也相等.聯繫圓心角、弧、弦、弦心距之間的關係.對於在推理論證及相關計算中有着廣泛的用途.
推論2:半圓(或直徑)所對的圓周角是直角,90°的圓周角所對的弦是直徑。
推論3:如果三角形一邊上的中線等於這邊的一半,那麼這個三角形是直角三角形。這兩個推論是判定直角或直角三角形的又一依據,為在圓中確定直角,構造垂直關係,創造了條件,因此它是圓中一個很重要的性質。
命題證明
命題1: 在圓中作弦MN,於直線MN同側取點A、B、C,使點A、B、C分別在圓內、上、外,將點A、B、C分別與點M、N連結,則有∠A>∠B>∠C。
命題2: 頂點在圓外的角(兩邊與圓相交)的度數等於其所截兩弧度數差的一半;頂點在圓內的角(兩邊與圓相交)的度數等於其及其對頂角所截弧度數和的一半。
證明:如圖,過C作CE//AB,交圓於E,(如圖四)
則有∠P=∠DCE,弧AC=弧BE(圓中兩平行弦所夾弧相等)
而∠DCE的度數等於弧DE的一半,弧DE=弧BD-弧BE=弧BD-弧AC
所以∠DCE的度數等於「弧BD-弧AC」的一半
即「頂點在圓外的角(兩邊與圓相交)的度數等於其所截兩弧度數差的一半」
另外也可以連接BC,則∠P=∠BCD-∠B
∠BCD的度數等於弧BD的度數的一半
∠B的度數等於弧AC的度數的一半
同樣得「頂點在圓外的角(兩邊與圓相交)的度數等於其所截兩弧度數差的一半」
圓內角的證明完全類似:
過C作CE//AB,交圓於E,
則有∠APC=∠C,弧AC=弧BE(圓中兩平行弦所夾弧相等)
而∠C的度數等於弧DE的一半,
弧DE=弧BD+弧BE=弧BD+弧AC
所以∠APC的度數等於「弧BD+弧AC」的一半
即「頂點在圓內的角(兩邊與圓相交)的度數等於其所截兩弧度數和的一半」
另外也可以連接BC進行證明
參考來源