圓周角
| 圓周角 |
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中文名；圓周角 外文名；subtended angle at the circumference 特點；頂點在圓上，兩邊為圓的兩條弦。 學科；數學 |
圓周角最初叫詹妮特角（Jeanit），因為它的頂點在圓周上，於是就將其更名為圓周角。
頂點在圓上，並且兩邊都和圓相交的角叫做圓周角，這一定義實質上反映的是圓周角所具備的兩個特徵：①頂點在圓上，②兩邊都和圓相交。這兩個條件缺一不可。[1]
目錄
簡述
圓周角(angle of circumference)是指頂點在圓上，且兩邊和圓相交的角。在同圓或等圓中，兩圓周角相等，則其所對的弦(或弧)也相等；反之，等弧所對的圓周角相等。而等弦所對圓周角相等或相補，圓周角的度數等於它所對弧的度數的一半。
對於一個圓周角，角的內部必然夾了一段圓弧，通常把圓周角說成是這一弧上的圓周角，或說這一弧所對的圓周角。另外，角的外部也有一段圓弧，我們還把圓周角說成是這一弧所含的圓周角。
定理推論
圓周角定理:在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角都等於這條弧所對的圓心角的一半。證明：
情況一：先考慮一種特殊情況——圓心O在圓周角∠BAC的邊上（如圖一）.由三角形外角性質有
但
情況二：如果圓心O在圓周角∠BAC的內部（如圖二），可以劃歸為前一種類型——引直徑AD。∠BAD，∠CAD都是圓心在邊上的圓周角。則有：
兩式相加即得
.情況三：如果圓心O在圓周角∠BAC的外部（如圖三），仍可以 劃歸為前一種類型——引直徑AD。這時∠BAD，∠CAD都是圓心在邊上的圓周角。則有：
兩式相減即得
這樣，即完成了定理的證明。圓周角定理有如下推論：
推論1：同弧或等弧所對的圓周角相等；同圓或等圓中，相等的圓周角所對的弧也相等．聯繫圓心角、弧、弦、弦心距之間的關係．對於在推理論證及相關計算中有着廣泛的用途．
推論2：半圓(或直徑)所對的圓周角是直角，90°的圓周角所對的弦是直徑。
推論3：如果三角形一邊上的中線等於這邊的一半，那麼這個三角形是直角三角形。這兩個推論是判定直角或直角三角形的又一依據，為在圓中確定直角，構造垂直關係，創造了條件，因此它是圓中一個很重要的性質。
命題證明
命題1: 在圓中作弦MN，於直線MN同側取點A、B、C，使點A、B、C分別在圓內、上、外，將點A、B、C分別與點M、N連結，則有∠A>∠B>∠C。
命題2: 頂點在圓外的角（兩邊與圓相交）的度數等於其所截兩弧度數差的一半；頂點在圓內的角（兩邊與圓相交）的度數等於其及其對頂角所截弧度數和的一半。
證明：如圖，過C作CE//AB，交圓於E，（如圖四）
則有∠P=∠DCE，弧AC=弧BE（圓中兩平行弦所夾弧相等）
而∠DCE的度數等於弧DE的一半，弧DE=弧BD－弧BE=弧BD－弧AC
所以∠DCE的度數等於「弧BD－弧AC」的一半
即「頂點在圓外的角（兩邊與圓相交）的度數等於其所截兩弧度數差的一半」
另外也可以連接BC，則∠P=∠BCD－∠B
∠BCD的度數等於弧BD的度數的一半
∠B的度數等於弧AC的度數的一半
同樣得「頂點在圓外的角（兩邊與圓相交）的度數等於其所截兩弧度數差的一半」
圓內角的證明完全類似：
過C作CE//AB，交圓於E，
則有∠APC=∠C，弧AC=弧BE（圓中兩平行弦所夾弧相等）
而∠C的度數等於弧DE的一半，
弧DE=弧BD+弧BE=弧BD+弧AC
所以∠APC的度數等於「弧BD+弧AC」的一半
即「頂點在圓內的角（兩邊與圓相交）的度數等於其所截兩弧度數和的一半」
另外也可以連接BC進行證明
參考來源