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冪函數是基本初等函數之一。

一般地.形如y=x(α為有理數)的函數,即以底數為自變量,冪為因變量,指數為常數的函數稱為冪函數。例如函數y=x 、y=x、y=x、y=x(註:y=x=1/x y=x時x≠0)等都是冪函數。

目錄

基本信息

中文名:冪函數

外文名:power function

表達式:形如y=x^a(a為常數)的函數

適用領域:數理科學

類型:基本初等函數

定義域和值域及其奇偶性

冪函數的一般形式是,其中,a可為任何常數,但中學階段僅研究a為有理數的情形(a為無理數時,定義域為(0,+∞) ),這時可表示為 ,其中m,n,k∈N*,且m,n互質。特別,當n=1時為整數指數冪。

  1. 當m,n都為奇數,k為偶數時,如,,等,定義域、值域均為R,為奇函數;
  2. 當m,n都為奇數,k為奇數時,如,,等,定義域、值域均為{x∈R|x≠0},也就是(-∞,0)∪(0,+∞),為奇函數;
  3. 當m為奇數,n為偶數,k為偶數時,如,等,定義域、值域均為[0,+∞),為非奇非偶函數;
  4. 當m為奇數,n為偶數,k為奇數時,如,等,定義域、值域均為(0,+∞),為非奇非偶函數;
  5. 當m為偶數,n為奇數,k為偶數時,如,等,定義域為R、值域為[0,+∞),為偶函數;
  6. 當m為偶數,n為奇數,k為奇數時,如,等,定義域為{x∈R|x≠0},也就是(-∞,0)∪(0,+∞),值域為(0,+∞),為偶函數。[1]

性質

正值性質

當α>0時,冪函數y=xα有下列性質:

a、圖像都經過點(1,1)(0,0);

b、函數的圖像在區間[0,+∞)上是增函數;

c、在第一象限內,α>1時,導數值逐漸增大;α=1時,導數為常數;0<α<1時,導數值逐漸減小,趨近於0(函數值遞增);

負值性質

當α<0時,冪函數y=xα有下列性質:

a、圖像都通過點(1,1);

b、圖像在區間(0,+∞)上是減函數;(內容補充:若為X-2,易得到其為偶函數。利用對稱性,對稱軸是y軸,可得其圖像在區間(-∞,0)上單調遞增。其餘偶函數亦是如此)。

c、在第一象限內,有兩條漸近線(即坐標軸),自變量趨近0,函數值趨近+∞,自變量趨近+∞,函數值趨近0。

零值性質

當α=0時,冪函數y=xa有下列性質:

a、y=x0的圖像是直線y=1去掉一點(0,1)。它的圖像不是直線。

討論分析

由於x大於0是對α的任意取值都有意義的,因此下面給出冪函數在各象限的各自情況。可以看到:

一、所有的圖像都通過(1,1)這點.(α≠0) α>0時 圖象過點(0,0)和(1,1)。

二、單調區間:當α為整數時,α的正負性和奇偶性決定了函數的單調性:當α為正奇數時,圖像在定義域為R內單調遞增;當α為正偶數時,圖像在定義域為第二象限內單調遞減,在第一象限內單調遞增;當α為負奇數時,圖像在第一三象限各象限內單調遞減(但不能冪函數的單調區間(當a為分數時)

冪函數的單調區間(當a為分數時)說在定義域R內單調遞減);當α為負偶數時,圖像在第二象限上單調遞增,在第一象限內單調遞減。

當α為分數時(且分子為1),α的正負性和分母的奇偶性決定了函數的單調性:當α>0,分母為偶數時,函數在第一象限內單調遞增;當α>0,分母為奇數時,函數在第一三象限各象限內單調遞增;當α<0,分母為偶數時,函數在第一象限內單調遞減;當α<0,分母為奇數時,函數在第一三象限各象限內單調遞減(但不能說在定義域R內單調遞減);

一、當α>1時,冪函數圖形下凹(豎拋);當0<α<1時,冪函數圖形上凸(橫拋)。

二、在(0,1)上,冪函數中α越大,函數圖像越靠近x軸;在(1,﹢∞)上冪函數中α越大,函數圖像越遠離x軸。

三、當α<0時,α越小,圖形傾斜程度越大。

四、顯然冪函數無界限。

五、α=2n(n為整數),該函數為偶函數 {x|x≠0}。

特性

對於α的取值為非零有理數,有必要分成幾種情況來討論各自的特性:

首先我們知道如果,q和p都是整數,則,如果q是奇數,函數的定義域是R;如果q是偶數,函數的定義域是[0,+∞)。

當指數α是負整數時,設α=-k,則,顯然x≠0,函數的定義域是(-∞,0)∪(0,+∞)。因此可以看到x所受到的限制來源於兩點,一是有可能作為分母而不能是0,一是有可能在偶數次的根號下而不能為負數,那麼我們就可以知道:α小於0時,x不等於0;α的分母為偶數時,x不小於0;α的分母為奇數時,x取R。

參考文獻