冪函數
冪函數是基本初等函數之一。
一般地.形如y=x(α為有理數）的函數，即以底數為自變量，冪為因變量，指數為常數的函數稱為冪函數。例如函數y=x 、y=x、y=x、y=x（註：y=x=1/x y=x時x≠0）等都是冪函數。
目錄
基本信息
中文名:冪函數
外文名:power function
表達式:形如y=x^a(a為常數）的函數
適用領域:數理科學
類型:基本初等函數
定義域和值域及其奇偶性
冪函數的一般形式是，其中，a可為任何常數，但中學階段僅研究a為有理數的情形（a為無理數時，定義域為(0，+∞) ），這時可表示為 ，其中m,n，k∈N*，且m，n互質。特別，當n=1時為整數指數冪。
- 當m，n都為奇數，k為偶數時，如，，等，定義域、值域均為R，為奇函數；
- 當m，n都為奇數，k為奇數時，如，，等，定義域、值域均為{x∈R|x≠0}，也就是(-∞，0)∪(0，+∞)，為奇函數；
- 當m為奇數，n為偶數，k為偶數時，如，等，定義域、值域均為[0，+∞)，為非奇非偶函數；
- 當m為奇數，n為偶數，k為奇數時，如，等，定義域、值域均為(0，+∞)，為非奇非偶函數；
- 當m為偶數，n為奇數，k為偶數時，如，等，定義域為R、值域為[0，+∞)，為偶函數；
- 當m為偶數，n為奇數，k為奇數時，如，等，定義域為{x∈R|x≠0}，也就是（-∞，0)∪(0，+∞)，值域為(0，+∞)，為偶函數。[1]
性質
正值性質
當α>0時，冪函數y=xα有下列性質：
a、圖像都經過點（1,1）（0,0）；
b、函數的圖像在區間[0,+∞）上是增函數；
c、在第一象限內，α>1時，導數值逐漸增大；α=1時，導數為常數；0<α<1時，導數值逐漸減小，趨近於0（函數值遞增）；
負值性質
當α<0時，冪函數y=xα有下列性質：
a、圖像都通過點（1,1）；
b、圖像在區間（0，+∞）上是減函數；（內容補充：若為X-2，易得到其為偶函數。利用對稱性，對稱軸是y軸，可得其圖像在區間（-∞，0）上單調遞增。其餘偶函數亦是如此）。
c、在第一象限內，有兩條漸近線（即坐標軸），自變量趨近0，函數值趨近+∞，自變量趨近+∞，函數值趨近0。
零值性質
當α=0時，冪函數y=xa有下列性質：
a、y=x0的圖像是直線y=1去掉一點（0,1）。它的圖像不是直線。
討論分析
由於x大於0是對α的任意取值都有意義的，因此下面給出冪函數在各象限的各自情況。可以看到：
一、所有的圖像都通過（1，1）這點.（α≠0） α>0時 圖象過點（0，0）和（1，1）。
二、單調區間：當α為整數時，α的正負性和奇偶性決定了函數的單調性：當α為正奇數時，圖像在定義域為R內單調遞增；當α為正偶數時，圖像在定義域為第二象限內單調遞減，在第一象限內單調遞增；當α為負奇數時，圖像在第一三象限各象限內單調遞減（但不能冪函數的單調區間（當a為分數時）
冪函數的單調區間（當a為分數時）說在定義域R內單調遞減）；當α為負偶數時，圖像在第二象限上單調遞增，在第一象限內單調遞減。
當α為分數時（且分子為1），α的正負性和分母的奇偶性決定了函數的單調性：當α>0，分母為偶數時，函數在第一象限內單調遞增；當α>0，分母為奇數時，函數在第一三象限各象限內單調遞增；當α<0，分母為偶數時，函數在第一象限內單調遞減；當α<0，分母為奇數時，函數在第一三象限各象限內單調遞減（但不能說在定義域R內單調遞減）；
一、當α>1時，冪函數圖形下凹（豎拋）；當0<α<1時，冪函數圖形上凸（橫拋）。
二、在（0,1）上，冪函數中α越大，函數圖像越靠近x軸；在（1，﹢∞）上冪函數中α越大，函數圖像越遠離x軸。
三、當α<0時，α越小，圖形傾斜程度越大。
四、顯然冪函數無界限。
五、α=2n（n為整數）,該函數為偶函數 {x|x≠0}。
特性
對於α的取值為非零有理數，有必要分成幾種情況來討論各自的特性：
首先我們知道如果，q和p都是整數，則，如果q是奇數，函數的定義域是R;如果q是偶數，函數的定義域是[0,+∞）。
當指數α是負整數時，設α=-k，則，顯然x≠0，函數的定義域是（－∞，0）∪（0,+∞）。因此可以看到x所受到的限制來源於兩點，一是有可能作為分母而不能是0，一是有可能在偶數次的根號下而不能為負數，那麼我們就可以知道：α小於0時，x不等於0；α的分母為偶數時，x不小於0；α的分母為奇數時，x取R。