弦切角定理
| 弦切角定理 |
 |
|
中文名；弦切角定理 外文名；Alternate Segment Theorem
適用領域範圍；數學 |
弦切角定理：弦切角的度數等於它所夾的弧所對的圓心角度數的一半，等於它所夾的弧所對的圓周角度數。
與圓相切的直線，同圓內與圓相交的弦相交所形成的夾角叫做弦切角。[1]
目錄
弦切角定義
頂點在圓上，一邊和圓相交，另一邊和圓相切的角叫做弦切角。
如圖1所示，線段PT所在的直線切圓O於點C，BC、AC為圓O的弦，∠TCB、∠TCA、∠PCA、∠PCB都為弦切角。
弦切角定理：弦切角的度數等於它所夾的弧的圓心角度數的一半。
等於它所夾的弧的圓周角度數。
如圖2，已知：直線PT切圓O於點C，BC、AC為圓O的弦。
求證：∠TCB=1/2∠BOC=∠BAC
證明：設圓心為O，連接OC，OB,。
∵∠OCB=∠OBC
∴∠OCB=1/2*(180°-∠BOC)
又∵∠BOC=2∠BAC
∴∠OCB=90°-∠BAC
∴∠BAC=90°-∠OCB
又∵∠TCB=90°-∠OCB
∴∠TCB=1/2∠BOC=∠BAC
綜上所述：∠TCB=1/2∠BOC=∠BAC
衍生及證明
已知：AC是⊙O的弦，AB是⊙O的切線，A為切點，弧CmA是弦切角∠BAC所夾的弧.
求證：弦切角∠BAC的度數等於它所夾的弧的度數的一半
證明：分三種情況：
（1）圓心O在∠BAC的一邊AC上
∵AC為直徑
∴弧CmA=弧CA
∵弧CA為半圓,
∴弧CmA的度數為180°
∵AB為圓的切線
∴∠CAB=90°
∴弦切角∠BAC的度數等於它所夾的弧的度數的一半
（2）圓心O在∠BAC的內部.
過A作直徑AD交⊙O於D,在優弧m所對的劣弧上取一點E，
連接EC、ED、EA。則
∵弧CD=弧CD
∴∠CED=∠CAD
∵AD是圓O的直徑
∴∠DEA=90°
∵AB為圓的切線
∴∠BAD=90°
∴∠DEA=∠BAD
∴ ∠CEA=∠CED+∠DEA=∠CAD+∠BAD=∠BAC
又∠CEA的度數等於弧CmA的度數的一半
∴弦切角∠BAC的度數等於它所夾的弧的度數的一半
（3）圓心O在∠BAC的外部
過A作直徑AD交⊙O於D，連接CD
∵AD是圓的直徑
∴∠ACD=90°
∴∠CDA+∠CAD=90°
∵AB是圓O的切線
∴∠DAB=90°
∴∠BAC+∠CAD=90°
∴∠BAC=∠CDA
∵∠CDA的度數等於弧CmA的度數的一半。
∴弦切角∠BAC的度數等於它所夾的弧的度數的一半。
逆定理
定理：以三角形任意一條邊為鄰邊，在三角形外部作一個角等於該邊的對角，那麼所作角的另一邊與三角形外接圓相切，切點為所作角的頂點。
幾何描述：設△ABP的外接圓為⊙O，在△ABP外部作∠BAC=∠BPA，則AC切⊙O於A。
注意定理的描述，所作角必須在三角形的外部，且該角與三角形有公共的邊。
該定理的等價描述為：角的度數等於所夾弧所對圓周角的角為弦切角。
幾何描述：設直線AC與圓相交於A，AB是圓的一條弦，P是圓上與A,B不重合的點。若∠BAC=∠BPA，則∠BAC是弦切角，即AC與圓相切於A。
證明：如圖3，同樣分類討論
（1）當∠BPA=90°時，AB為直徑。
∠BAC=∠BPA=90°，即AB⊥AC
經過直徑的一端，並且與直徑垂直的直線是圓的切線，∴AC是⊙O的切線，切點為A。
（2）當∠BPA<90°時，作直徑AD，連接PD，則∠DPA=90°
∵∠BAC=∠BPA,∠DAB=∠DPB
∴∠BAC+∠DAB=∠BPA+∠DPB
即∠DAC=∠DPA=90°
由（1）得AC與⊙O切於A
（3）當∠BPA>90°時，作直徑AD,連接PD,則∠DPA=90°
∵∠BAC=∠BPA,∠BAD=∠BPD
∴∠BAC-∠BAD=∠BPA-∠BPD
即∠DAC=∠DPA=90°
由（1）得AC切⊙O於A
若兩弦切角所夾的弧相等，則這兩個弦切角也相等。
應用舉例
【例1】如圖4，在⊙O中，⊙O的切線AC、BC交於點C.
求證：∠CAB=∠CBA。
解：∵AC、BC是⊙O的兩條切線
∴AC=BC（切線長定理）
∴∠CAB=∠CBA（等腰三角形中等邊對等角）
【例2】如圖5，AD是ΔABC中∠BAC的平分線，經過點A的圓與BC相切於點D，與AB，AC分別相交於E，F.
求證：EF//BC.
證明：連接DF
∵AD是∠BAC的平分線
∴∠BAD=∠CAD
∵∠EFD=∠BAD
∴∠EFD=∠CAD
∵⊙O切BC於D
∴∠FDC=∠CAD
∴∠EFD=∠FDC
∴EF∥BC
【例3】如圖6，ΔABC內接於⊙O，AB是⊙O直徑，CD⊥AB於D，MN切⊙O於C.
求證：AC平分∠MCD，BC平分∠NCD.
證明：∵AB是⊙O直徑
∴∠ACB=90
∵CD⊥AB
∴∠A+∠B=∠A+∠DCA
∴∠ACD=∠B
∵MN切⊙O於C
∴∠MCA=∠B
∴∠MCA=∠ACD
即AC平分∠MCD
同理：BC平分∠NCD
參考來源