弧長
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名稱：弧長 定義：在圓上過2點的一段弧的長度叫做弧長 |
曲線的弧長也稱曲線的長度，是曲線的特徵之一。不是所有的曲線都能定義長度，能夠定義長度的曲線稱為可求長曲線。
最早研究的曲線弧長是圓弧的長度，所以狹義上，特指圓弧的長度。
半徑為R的圓中，n°的圓心角所對圓弧的弧長為nπR/180°，[1]
目錄
基本概念
在研究曲線時，我們總引進弧長作為參數，一方面是由於曲線的一般參數 t 不具有任何幾何意義，另一方面，因為弧長是曲線的剛體運動不變量，用弧長作參數，可大大簡化公式，並較容易導出其他不變量。
設
為連續曲線(如圖1)。它的端點分別為A，B，在A，B之間任取n-1個點：P1，P2，…Pn-1。為方便計，把A寫成P0，把B寫成Pn。它們將Γ分成n段。設各點對應的參數依次為a=t0，t1，t2，…，tn-1，tn=b。用直線段連結相鄰的點，得到一折線形，它的長：
當分點無限增加時，若σn趨於一個與分點的選擇無關的確定極限，則稱此極限為曲線段AB的弧長。
曲線 類曲線(k≥1)都有長度。曲線Γ在[t0，t]之間的長度可用公式：
表示。弧長稱為曲線的自然參數。
在取自然參數時，曲線的方程：
，則t可視為曲線從某點量起的弧長參數。
弧長的計算
下面我們用微分元素法計算曲線的長度。
設平面曲線C的參數表示為
，這樣的稱為光滑曲線，如圖2.
顯然這時曲線的長度L對於區間 相應的弧長
故由微分元素法可知曲線總長為
同樣，對於空間光滑曲線
曲線總長為
若平面光滑曲線C被表達成了直角坐標形式
則C也有參數表示
故由公式(1)可知這時
例1 證明：圓 。
證明: 由對稱性可知所求周長是第一象限部分長度的4倍，在第一象限中圓的參數方程是
故由公式(1)得圓的周長
扇形的弧長與計算公式
參考來源