弧长
| 弧长 |
 |
|
名称：弧长 定义：在圆上过2点的一段弧的长度叫做弧长 |
曲线的弧长也称曲线的长度，是曲线的特征之一。不是所有的曲线都能定义长度，能够定义长度的曲线称为可求长曲线。
最早研究的曲线弧长是圆弧的长度，所以狭义上，特指圆弧的长度。
半径为R的圆中，n°的圆心角所对圆弧的弧长为nπR/180°，[1]
目录
基本概念
在研究曲线时，我们总引进弧长作为参数，一方面是由于曲线的一般参数 t 不具有任何几何意义，另一方面，因为弧长是曲线的刚体运动不变量，用弧长作参数，可大大简化公式，并较容易导出其他不变量。
设
为连续曲线(如图1)。它的端点分别为A，B，在A，B之间任取n-1个点：P1，P2，…Pn-1。为方便计，把A写成P0，把B写成Pn。它们将Γ分成n段。设各点对应的参数依次为a=t0，t1，t2，…，tn-1，tn=b。用直线段连结相邻的点，得到一折线形，它的长：
当分点无限增加时，若σn趋于一个与分点的选择无关的确定极限，则称此极限为曲线段AB的弧长。
曲线 类曲线(k≥1)都有长度。曲线Γ在[t0，t]之间的长度可用公式：
表示。弧长称为曲线的自然参数。
在取自然参数时，曲线的方程：
，则t可视为曲线从某点量起的弧长参数。
弧长的计算
下面我们用微分元素法计算曲线的长度。
设平面曲线C的参数表示为
，这样的称为光滑曲线，如图2.
显然这时曲线的长度L对于区间 相应的弧长
故由微分元素法可知曲线总长为
同样，对于空间光滑曲线
曲线总长为
若平面光滑曲线C被表达成了直角坐标形式
则C也有参数表示
故由公式(1)可知这时
例1 证明：圆 。
证明: 由对称性可知所求周长是第一象限部分长度的4倍，在第一象限中圆的参数方程是
故由公式(1)得圆的周长
扇形的弧长与计算公式
参考来源