非標準分析
《非標準分析》，數理邏輯應用於分析數學並在其中恢復了無限小量方法的第一本專著，阿·魯賓遜著。1966年以《邏輯與數學基礎研究》叢書的第74卷由北荷蘭出版公司出版，1970年再版，有俄、日譯本。中譯本科學出版社1980年出版，申又棖、王世強、張錦文等譯。
目錄
內容簡介
本書分10章，共306頁。開創非標準分析以前，牛頓、萊布尼茨在創立微積分時，使用了直觀無限小量方法，但是，數學家們長期沒有能給出合理的系統去消除分析數學中的邏輯矛盾。1830年開始，柯西等數學家建立了極限方法，並用它作分析數學的基本概念建立嚴謹的理論體系(人們稱之為標準分析)，從而在分析數學中驅逐了實無限小和無限小量方法，雖然在工程數學中仍用直觀的無限小。本書運用數理邏輯方法嚴格地證明了存在實無限小，從而把實數域R擴充到超實數域*R，在*R上使用無限小量方法建立起來的分析數學叫做非標準分析。這樣，就對標準分析和其他數學分支開闢一條新奇和富饒的研究途徑。第1章除說明上述主題外，還介紹了以下各章的內容。第2章描述了來自數理邏輯的形式工具，討論了一階和高階理論，給出了有窮性原理即緊緻性定理的證明。第3章闡述了作為非標準分析框架的數學結構的基本性質，證明了這些結構為無限小理論提供了一個合適的基礎，並運用這個理論展開了微積分學初步。接着引入一階和高階微分並應用於經典微分幾何中的某些初等問題。第4章證明了無限小理論具有一推廣形式，它可應用於拓撲空間，在這一理論中重建了拓撲學的各種基本概念。第5章討論實變函數，用非標準分析的術語定義了勒貝格測度，並證明了若干非標準分析的定理。第6章討論複變函數的非標準理論。第7章探討線性賦范空間論，在幾個方向上論述了緊緻算子的非標準理論。特別是證明了希爾伯特空間中有緊緻平方的線性算子具有一個非平凡的不變子空間。這是首次證明了這一結果，從而解決了史密斯與毫爾馬斯提出的問題。第8章考察拓撲群，特別是李群並體現了無限小群的直觀概念。第9章考察了變分原理，修改了黎曼映象定理的經典證明，還考察了流體動力學中的若干課題，憑藉無限小解釋了邊界層理論的基本概念。第10章對微積分學歷史與無限小理論有關的若干階段作了評述，並簡要地概述了作者的形式主義立場:本書好象肯定了各種無限的實體存在，但是，用形式主義者的觀點，從語法上來看，這個理論，與其說是引進了新的數學對象，不如說是引進了新的推演過程。
數學家開斯爾認為:阿·魯賓遜以給出無限小對微積分學的嚴謹處理解決了分析數學中一個古老的問題，這一成就可能是20世紀數學中的最大成就之一。哥德爾說，我們有充分理由相信，以這種或那種形式表示的非標準分析，將成為未來的分析學。
作者簡介
阿·魯賓遜(Abraham Robimson 1918—1974)，生於德國瓦登堡，1936年畢業於耶路撒冷法語學校，1946年獲得希伯萊大學碩士學位，1949年獲得倫敦大學博士學位。先後在加拿大的多倫多大學、耶路撒冷的希伯萊大學、美國加州大學洛杉磯分校任教授。1977年榮獲荷蘭數學會頒發的布勞威爾獎章。是非標準分析的創始人，數理邏輯的分支模型論的創始人之一，同時還是數理哲學中形式主義學派的主要代表。出版有9本專著，一百多篇純粹與應用數學方面的論文，其代表作有《代表元數學》、《完全理論》、《模型論與代數元數學引論》及本書。
工具書
工具書是專供查找知識信息的文獻[1]。它系統匯集某方面的資料，按特定方法加以編排，以供需要時查考使用。根據工具書的基本性質和使用功能，可以劃分為檢索性工具書和參考性工具書（美國工具書專家蓋茨稱其為控制-檢索型工具書和資料型工具書，Information:control and access，Sources of information)。另外還可以根據語種[2]、學科內容、規模大小等標準進行劃分。