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周期函数

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中文名;周期函数

外文名;periodic function

性质;7条

判定定理;5条

对于函数y=f(x),如果存在一个不为零的常数T,使得当x取定义域内的每一个值时,f(x+T)=f(x)都成立,那么就把函数y=f(x)叫做周期函数,不为零的常数T叫做这个函数的周期。事实上,任何一个常数kT(k∈Z,且k≠0)都是它的周期。并且周期函数f(x)的周期T是与x无关的非零常数,且周期函数不一定有最小正周期。[1]

定义

设f(x)是定义在数集M上的函数,如果存在非零常数T具有性质:f(x+T)=f(x),则称f(x)是数集M上的周期函数,常数T称为f(x)的一个周期。如果在所有正周期中有一个最小的,则称它是函数f(x)的最小正周期。

由定义可得:周期函数f(x)的周期T是与x无关的非零常数,且周期函数不一定有最小正周期,譬如狄利克雷函数。

性质

周期函数的性质

共分以下几个类型:

(1)若T(≠0)是f(x)的周期,则-T也是f(x)的周期。

(2)若T(≠0)是f(x)的周期,则nT(n为任意非零整数)也是f(x)的周期。

(3)若T1与T2都是f(x)的周期,则T1±T2也是f(x)的周期。

(4)若f(x)有最小正周期T*,那么f(x)的任何正周期T一定是T*的正整数倍。

(5)若T1、T2是f(x)的两个周期,且T1/T2是无理数,则f(x)不存在最小正周期。

(6)周期函数f(x)的定义域M必定是至少一方无界的集合。

判定定理

周期函数定理,一共分以下几个类型。

定理1

若f(x)是在数集M上以T*为最小正周期的周期函数,则K f(x)+C(K≠0)和1/ f(x)分别是集M和集{X/ f(x) ≠0,X ∈M}上的以T*为最小正周期的周期函数。

证:

∵T*是f(x)的周期,∴对 有X±T* 且f(x+T*)= f(x),∴K f(x)+C=K f(x+T*)+C,

∴K f(x)+C也是M上以T*为周期的周期函数

假设T* 不是Kf(x)+C的最小正周期,则必存在T’(0<T’<T*)是K f(x)+C的周期,则对T’(0<T’<T*)是K f(x)+C的周期,有K f(x+T’)+C=K f(x) +C ,K[f(x+T’)- f(x)]=0,∵K≠0,∴f(x+T’)- f(x)=0,∴f(x+T’)= f(x),

∴T’是f(x)的周期,与T*是f(x)的最小正周期矛盾,∴T*也是K f(x)+C的最小正周期。

同理可证1/ f(x)是集{X/ f(x) ≠0,X }上的以T*为最小正周期的周期函数。

定理2

若f(x)是集M上以T*为最小正周期的周期函数,则f(ax+b)是集{x|ax+b∈M}上的以T*/ a为最小正周期的周期函数,(其中a、b为常数)。

证:

先证f(ax+b)的周期。

∵T*是f(x)的周期,∴f(x±T*)=f(x),有X±T*∈M,以ax+b替换x得,f(ax±T*+b)=f(ax+b),此时ax+b∈M,提取a为公因式得,f[a(x+T*/a)+b]=f(ax+b)∴T*/a是f(ax+b)的周期。

再证是f(ax+b)的最小正周期。

假设存在T’/a(0<T’<T*;)是f(ax+b)的周期,则f(a(x+T’/a)+b)=f(ax+b),用x/a-b/a替换x,得f(x+T’)=f(x)

∴T’是f(x)的周期,但 T’<T*这与T*是f(x)的最小正周期矛盾。

∴不存在T’/a(0<T’<T*;)是f(ax+b)的周期,即f(ax+b)的最小正周期为T*/ a。

定理3

设f(u)是定义在集M上的函数,u=g(x)是集M1上的周期函数,且当X∈M1时,g(x)∈M,则复合函数f(g(x))是M1上的周期函数。

证:

设T是u=g(x)的周期,则 1有(x±T)∈M1且g(x+T)=g(x)∴f(g(x+T))=f(g(x))

∴=f(g(x))是M1上的周期函数

例1

设=f(u)=u2是非周期函数,u= g(x)=cosx是实数集R上的周期函数,则f(g(x))=cos2x是R上的周期函数。

同理可得:⑴f(x)=Sin(cosx),⑵f(x)=Sin(tgx),⑶f(x)=Sin2x,⑷f(n)=Log2Sinx(sinx>0)也都是周期函数。

例2

f(n)=Sinn是周期函数,n=g(x)=ax+b(a≠0)是非周期函数,f(g(x))=Sin(ax+b)是周期函数(中学数学中已证)。

例3

f(n)=cosn是周期函数,n=g(x)= (非周期函数)而f(g(x))=cos 是非周期函数。

证:假设cos 是周期函数,则存在T>0使cos (k∈Z) 与定义中T是与X无关的常数矛盾,

∴cos 不是周期函数。

由例2、例3说明,若f(u)是周期函数,u= g(X)是非周期函数,这时f(g(x))可能是,也可能不是周期函数。

定理4

设f1(x)、f2(x)都是集合M上的周期函数,T1、T2分别是它们的周期,若T1/T2∈Q则它们的和差与积也是M上的周期函数,T1与T2的公倍 数为它们的周期。

证:

设 ((p·q)=1)设T=T1q=T2p,则有:有(x±T)=(x±T1q)=(x±T2p)∈M,且f1(x+T) ±f2(x+T)= f1(x+T1q) ±f2(x+T2p)= f1(X)±f2(X) ,∴f1(X) ±f2(X)是以T1和T2的公倍数T为周期的周期函数。同理可证:f1(x)、f2(x)是以T为周期的周期函数。

推论

设f1(x) 、f2(x)……fn(x) 是集合M上的有限个周期函数T1、T2……Tn分别是它们的周期,若, … (或T1,T2……Tn中任意两个之比)都是有理数,则此n个函数之和、差、积也是M上的周期函数。

例1

f(x)=Sinx-2cos2x+sin4x是以2π、π、π/2的最小公倍数2π为周期的周期函数。

例2

讨论f(X)= 的周期性。

解:2tg3 是以T1= 为最小正周期的周期函数。

5tg 是以T2 为最小正周期的周期函数。

tg2 是以T3=为最小正周期的周期函数。

又都是有理数

∴f(x)是以T1、T2、T3最小公倍数(T1、T2、T3)=为最小正周期的周期函数。

同理可证:

⑴f(x)=cos ;

⑵f(x)=sin2xcos2x+cos2xcos3x+cos3xsin3x。是周期函数。

定理5

设f1(x)=sin a1x,f2(x)=cos a2x,则f1(x)与f2(x)之和、差、积是周期函数的充要条件是a1/a2∈Q。

证:

先证充分性:

若a1/a2∈Q,设T1、T2分别为f1(x)与f2(x)的最小正周期 ,由定理4,可得f1(x)与f2(x)之和、差、积是周期函数。

再证必要性(仅就f1(x)与f2(x)的差和积加以证明)。

⑴设sina1x-cosa2x为周期函数,则必存在常数T>0,

使sina1(x+T)-sina1x=cosa2(x+T)-cosa2x 2cos(a1x+T)sin = -2sin(a2x+T)sin ⑴。

令x= 得2cos(a1x+T),则 (K∈Z)。⑵

或 C∈Z⑶

又在⑴中令 2sin(a2x+T)sin =-2sin =0

由⑷

由sin ⑸

由上述⑵与⑶,⑷与⑸都分别至少有一个成立。

由⑶、⑸得⑹

∴无论⑵、⑷、⑹中那一式成立都有a1/a2。

⑵设sinaxcosa2x为周期函数,则 是周期函数

判定方法

周期函数的判定方法分为以下几步:

(1)判断f(x)的定义域是否有界;

例:f(x)=cosx(≤10)不是周期函数。

(2)根据定义讨论函数的周期性可知非零实数T在关系式f(x+T)= f(x)中是与x无关的,故讨论时可通过解关于T的方程f(x+T)- f(x)=0,若能解出与x无关的非零常数T便可断定函数f(x)是周期函数,若这样的T不存在则f(x)为非周期函数。

例:f(x)=cosx^2 是非周期函数。

(3)一般用反证法证明。(若f(x)是周期函数,推出矛盾,从而得出f(x)是非周期函数)。

例:证f(x)=ax+b(a≠0)是非周期函数。

证:假设f(x)=ax+b是周期函数,则存在T(≠0),使之成立 ,a(x+T)+b=ax+b ax+aT-ax=0,aT=0 又a≠0,∴T=0与T≠0矛盾,∴f(x)是非周期函数。

例:证f(x)= ax+b是非周期函数。

证:假设f(x)是周期函数,则必存在T(≠0)对 ,有(x+T)= f(x),当x=0时,f(x)=0,但x+T≠0,∴f(x+T)=1,∴f(x+T) ≠f(x)与f(x+T)= f(x)矛盾,∴f(x)是非周期函数。

参考来源

周期函数的概念

参考资料

  1. 函数周期公式,360文库 , 2018年4月18日