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  上界

上界(upper bound)是一个与偏序集有关的特殊元素,指的是偏序集中大于或等于它的子集中一切元素的元素。若数集S为实数集R的子集有上界,则显然它有无穷多个上界,而其中最小的一个上界常常具有重要的作用,称它为数集S的上确界。

简介

上界,是与偏序集有关的一个特殊元素。指偏序集中大于或等于它的子集中一切元素的元素。设<A,R>是偏序集, ,若对所有 都有xRa,则a称为B在偏序集<A,R>中的上界,简称B的上界,记为 。若a是B的上界,对于B的任何上界c,都有 aRc,则a称为B的上确界(或最小上界),记为 。考虑一个实数集合M。如果有一个实数s,使得M中任何数都不超过s,那么就称s是M的一个上界。用数学符号表示为:对∀x∈M,都有x≤s,则称s是M的上界(upper bound)。确界原理:若R的子集M有上界,则必有上确界;若集合M有下界,则必有下确界。上确界定义:设S是R中的一个数集,若数η∈R满足(i)对∀x∈S,有η≥x,即η是S的上界;(ii)对∀a<η,存在x0∈S,使得x0>a,即η是S的最小上界(least upper bound),则称η为数集S的上确界;下确界定义:设S是R的一个数集,若数ξ∈R满足:(i)对∀x∈S,有ξ≤x,即ξ是S的下界;(ii)对∀β>ξ,∃x0∈S,使得x0<β,即ξ是S的最大下界(greatest lower bound),则称ξ为数集的S的下确界; 由戴德金定理证明非空有上界数集必有上确界,非空有下界数集必有下确界同理。

评价

对一个 ,它的上界可能不存在,或可能不止一个。例如,令A={1,2,3},R={<a,b>|a整除b}。当B1={2,3}时,B1没有上界,当B2={1}时,有上界1,2,3,且1是B2的上确界。对 ,若上确界存在,则是惟一的。一个子集B有上界时它未必有上确界,有上确界也不一定在子集B之中,例如,如概述图中哈塞图表示的以A={a,b,c,d,e}为基本集的一个偏序集,子集B={b,c,d},以a为上界,a {b,c,d}。子集{e,f}的上界与上确界都是 f 。子集{c,d,e}无上界,也无上确界所有自然数的每个子集都具有下界,因为自然数具有最小元素(0或1,取决于自然数的确切定义)。 自然数的无限子集不能从上面界定。 整数的无限子集可以从下方界定或从上方界定。有理数字的无限子集可能来自也可能不会从下方界定,也可能不限于上述。[1]

参考文献

  1. 上界搜狗