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  上界

上界(upper bound)是一個與偏序集有關的特殊元素,指的是偏序集中大於或等於它的子集中一切元素的元素。若數集S為實數集R的子集有上界,則顯然它有無窮多個上界,而其中最小的一個上界常常具有重要的作用,稱它為數集S的上確界。

簡介

上界,是與偏序集有關的一個特殊元素。指偏序集中大於或等於它的子集中一切元素的元素。設<A,R>是偏序集, ,若對所有 都有xRa,則a稱為B在偏序集<A,R>中的上界,簡稱B的上界,記為 。若a是B的上界,對於B的任何上界c,都有 aRc,則a稱為B的上確界(或最小上界),記為 。考慮一個實數集合M。如果有一個實數s,使得M中任何數都不超過s,那麼就稱s是M的一個上界。用數學符號表示為:對∀x∈M,都有x≤s,則稱s是M的上界(upper bound)。確界原理:若R的子集M有上界,則必有上確界;若集合M有下界,則必有下確界。上確界定義:設S是R中的一個數集,若數η∈R滿足(i)對∀x∈S,有η≥x,即η是S的上界;(ii)對∀a<η,存在x0∈S,使得x0>a,即η是S的最小上界(least upper bound),則稱η為數集S的上確界;下確界定義:設S是R的一個數集,若數ξ∈R滿足:(i)對∀x∈S,有ξ≤x,即ξ是S的下界;(ii)對∀β>ξ,∃x0∈S,使得x0<β,即ξ是S的最大下界(greatest lower bound),則稱ξ為數集的S的下確界; 由戴德金定理證明非空有上界數集必有上確界,非空有下界數集必有下確界同理。

評價

對一個 ,它的上界可能不存在,或可能不止一個。例如,令A={1,2,3},R={<a,b>|a整除b}。當B1={2,3}時,B1沒有上界,當B2={1}時,有上界1,2,3,且1是B2的上確界。對 ,若上確界存在,則是惟一的。一個子集B有上界時它未必有上確界,有上確界也不一定在子集B之中,例如,如概述圖中哈塞圖表示的以A={a,b,c,d,e}為基本集的一個偏序集,子集B={b,c,d},以a為上界,a {b,c,d}。子集{e,f}的上界與上確界都是 f 。子集{c,d,e}無上界,也無上確界所有自然數的每個子集都具有下界,因為自然數具有最小元素(0或1,取決於自然數的確切定義)。 自然數的無限子集不能從上面界定。 整數的無限子集可以從下方界定或從上方界定。有理數字的無限子集可能來自也可能不會從下方界定,也可能不限於上述。[1]

參考文獻

  1. 上界搜狗