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| 全序关系 |
在数学中，集合 X 上的全序关系（Total order），简称全序、又名线性序（linear order）、简单序（simple order），或（非严格）排序（(non-strict) ordering），是在 X 上的反对称的、传递的和完全的任何二元关系。
简介
偏序和全序是公里集合论中的概念。首先需要知道什么是二元关系。比如实数中的“大小”关系，集合的集合中的“包含”关系就是两种二元关系。所谓偏序，即偏序关系，是一种二元关系。所谓全序，即全序关系，自然也是一种二元关系。全序是指，集合中的任两个元素之间都可以比较的关系。比如实数中的任两个数都可以比较大小，那么“大小”就是实数集的一个全序关系。偏序是指，集合中只有部分元素之间可以比较的关系。比如复数集中并不是所有的数都可以比较大小，那么“大小”就是复数集的一个偏序关系。显然，全序关系必是偏序关系。反之不成立。
评价
字母表的字母按标准字典次序排序，比如 A < B < C 等等。把一个全序限制到其全序集合的一个子集上。所有的两个元素都是可比较的任何偏序集合 X (就是说，如果 a,b 是 X 的成员，则 a≤b 或 b≤a 中的一个为真或二者都为真)。由基数或序数(实际上是良序)组成的任何集合。如果 X 是任何集合，而 f 是从 X 到一个全序集合的单射函数，则 f 诱导出 X 上的一个全序：规定 x1 < x2 当且仅当 f(x1) < f(x2)。设有某个集族，其成员都是用序数为索引的全序集合，然后把这集族上取的笛卡尔积中的有序对按字典序排序，那么，这字典序是一全序。例如，若有一个集合由一些词语组成，按字母表把词语排序的话会是一全序。举个实例，我们规定"bird"先于"cat"。这可视为是向字母表加入空格符号""（定义""先于所有字母），得到集合A，然后对其自身取可数次笛卡尔积，得到Aω。"bird"可理解为Aω里的序对("b","i","r","d","","",...)，"cat"则是("c","a","t","","","",...)。从而{"bird","cat"}成为Aω的一个子集，把Aω上的字典序限制到这字集，便得出"bird"<"cat"。实数集和自然数集、整数集、有理数集（作为实数集的子集），用平常的小于(<)或大于(>)关系排序都是（严格）全序的。它们都可以被证明是带有特定性质的全序集合的唯一的（在同构意义下的）最小实例（一个全序 A 被称为是带有特定性质的最小全序，即意味着只要别的全序 B 有这个性质，就有从 A 到 B 的子集的一个序同构)：自然数集是最小的没有上界的全序集合。整数集是最小的没有上界也没有下界的全序集合。有理数集是最小的在实数集内稠密的全序集合，这里的稠密性是指对于任意实数a, b，都存在有理数q使得a<q<b。实数集是最小的无界连通（序拓扑的意义下）的全序集合。[1]