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内容简介
哥德尔被美国《时代周刊》评为20世纪最有影响力的100个人之一，爱因斯坦称其为自亚里士多德之后最伟大的逻辑学家，他的理论为计算机科学和人工智能领域的发展奠定了基础。他提出的哥德尔不完备性定理，堪称数学逻辑理论中最伟大的发现，至今仍影响着人工智能领域的发展。
哥德尔早年就职于维也纳大学，后因战乱逃离欧洲，辗转来到普林斯顿高等研究院。在这里，他逐渐融入了美国的生活，并与爱因斯坦结下了深厚的情谊，成为科学史上的一段佳话。晚年的哥德尔获得终身教职，但最后因被害妄想症悲惨离世。
他的一生在哲学、数学、人工智能等领域都提出了颠覆性的理论，甚至涉猎了相对论。如果哥德尔的定理以及由此推导出的结论是正确的，就意味着人类将永远不能制造出能够完美复刻人脑推理、学习、计划、解决问题能力的计算机。
作者简介
斯蒂芬·布迪安斯基（Stephen Budiansky），美国传记作家、科普作家、古根汉研究员，英国《科学》期刊编辑；《纽约时报》《华盛顿邮报》《经济学人》自由撰稿人，先后出版过17部作品，代表作如《霍姆斯传》。
原文摘录
哥德尔清楚地知道，他被世人所知的都是一些否定的结论（哥德尔的其他重大贡献在他去世之后才被陆续重新发现）。而且，可能为真却无法证明的数学定理的存在，也意味着我们也许永远无法窥视到启动这个世界的神秘之手。世俗的我们不会为这个费神，但哥德尔会。这种阴影一直伴随着哥德尔，也可以理解成他罹病的一部分精神原因。我个人认为，即便科学活动的最终结果只是发现，探索行动中的发明，比如哥德尔在证明中使用的手段（比如哥德尔数），也是先验世界中没有包含的，是人类文明活动璀璨的新结果。 到了1900年，奥地利的经济增长速度已经超过了英国，纺织品、钢铁、玻璃、机械、乐器等商品贸易的繁荣壮大了国内的中产阶级队伍。无论是哥德尔父亲还是母亲的家族，都曾受益于奥地利这段以发展与和平为主旋律的时期，他们花了两代人的时间，从皮革厂、纺织厂和装订厂的手工工人变成了拥有自家纺织厂的经营者。当时是19世纪中叶，正值纺织业在布吕恩蓬勃发展的年代。 除了经济上的亮眼表现之外，奥地利还一跃成为文化、思想和科学的中心。无论在哪个方面，它都一反因循守旧的落后常态，与过去形成了鲜明的对比。法国小说家斯塔尔夫人曾于1808年到访奥地利，当她想在寄回法国的书信里谈谈奥地利的科学和文学时，却发现乏善可陈。“这个国家太平淡了，”斯塔尔夫人写道，“每个生活在奥地利的人，不论阶级，都只管享受国家带给他们的岁月静好，而没人在乎思想上的进步和精神上的愉悦。”
书评
1906年，哈布斯堡王朝在世人眼里尚有万古长存的势头。
那一年，哥德尔出生在一栋由他父亲亲手建造的乡野别墅里。哥德尔出生于有着典型的帝国城市风貌的布吕恩：一条气派而热闹的环城大道；一座由市政府筹建和运营的大剧院，定期邀请维也纳的巡演团队，出演最新最热的剧目；在专门为想去维也纳、布拉格或切尔诺维茨上大学的学生们设立的文科中学，教授奥地利帝国的通用中学课程；市区里的自由广场熙熙攘攘，哥德尔的母亲经常光顾广场附近一家名为“肖普”的咖啡厅，在那里同她的好友和闺蜜度过了无数悠闲的午后时光。这一幅安宁美好的盛世景象都将在“一战”的炮火里灰飞烟灭：时代剧变正在酝酿，战争一触即发；虽然暗流涌动，但人们依然安居乐业，对危机毫无察觉。
哥德尔的童年和青年时期正值第一次世界大战前后，他的生活富裕而安宁，这都得益于布吕恩蓬勃发展的纺织业。哥德尔在故乡布吕恩度过了人生最初的18年，那里在工业革命开始前是一座规模不大的中世纪要塞，名不见经传，在历史舞台上只出现过两次。第一次是在1645年，在欧洲三十年战争期间它英勇地抵挡了瑞典军队的围攻；第二次是在1805年，俄奥联军在一场改变欧洲军事格局的战役中惨败给拿破仑，奥地利皇帝被迫放弃神圣罗马皇帝的头衔，双方交战的主战场奥斯特里茨就在布吕恩附近。虽然它从前没什么名气，但凭借优越的地理位置（位于帝国首都维也纳北部70英里处；在多瑙河两条支流的交汇点上，其丰富的水力资源可作为工厂水车的动力），布吕恩在奥匈帝国工业缓慢觉醒的几十年内，成为最早受益于技术革命的城市之一。
从哥德尔家出发，往山下的方向走大约10分钟，就可以到达老布吕恩城区的奥古斯丁修道院。格雷戈尔·孟德尔曾在这里蛰居10年，潜心研究了10 000株豌豆的花朵、豆荚和种子，一丝不苟地反复做着杂交、分类和计数的工作，由此奠定了现代遗传学的基础。1910年，人们在修道院花园前的广场上立起了一尊孟德尔的大理石雕像，上面刻有“科学界友人赠”几个字，全欧洲的知名生物学家纷纷到布吕恩瞻仰这座雕像。
库尔特·哥德尔的家人在他小时候就看出他天资聪颖，哥德尔4岁时他们给他起过一个外号——“为什么先生”。在哥哥鲁迪的记忆中，哥德尔“总有问不完的问题，总想打破砂锅问到底”。哥德尔本人对此的回忆和评述不同于家人口中的温馨故事，显得有些尖锐甚至是轻蔑。大约半个世纪后，哥德尔在普林斯顿告诉他的精神科医生，他从小就“好奇心旺盛，质疑权威，渴望理性”，这也是他在青春期与父亲闹僵的原因之一。青少年时期的哥德尔经常不参加家庭例行的周日郊游活动，而是独自待在家里埋头看书。
库尔特·哥德尔就读于福音派小学，在4年的学校生活中，他经常因为生病而请假。库尔特8岁时患了严重的风湿热，大病一场后，他一直认为自己的心脏受到了永久性损伤，机能无法完全恢复。在母亲看来，这场病可能是小儿子疑病症的诱因。几年后，他又接受了一次阑尾切除术，那场手术非常顺利，没有出现任何并发症。库尔特在学校取得了近乎完美的成绩，有一句俗语叫“样样拿第一的孩子”，用它来形容库尔特真是再贴切不过了。在1916年7月颁发的小学毕业证书上，库尔特的每个大项都获得了最高评价（“优异”），比如宗教、语言、算术，操行评定也是“值得表扬”。同年秋天，他进入布吕恩当地的一所实科中学就读，这所中学的全名是帝国皇家国立德语实科中学。
哥德尔在实科中学度过了8年时光，高中阶段的课程包括拉丁语、法语、德语、数学、物理学、化学、地理学，以及历史、博物学、徒手绘画和宗教。除此之外，哥德尔还选修了英语和加贝尔斯贝格速记法。在课余时间，鲁道夫还聘请了私教给两兄弟上英语课。
哥德尔11岁时的学业成绩单
可以确定的是，哥德尔14岁时就已经沉迷于数学和哲学而无法自拔了。他自学了微积分和大学阶段的其他数学专业课，并在16岁时第一次阅读了康德的作品。
1924年，从中学毕业的哥德尔加入了德裔捷克人的移民大军，一心前往已经成为历史的奥地利帝国曾经的首都维也纳。他搬进了哥哥鲁迪的公寓，在距离维也纳大学5个街区的地方开始了全新的生活。
哥德尔原本想研究物理学，在大学的前两年，他把每周的课程都安排得满满当当，如饥似渴地学习各种专业课程，比如电学理论、理论物理学、变形体力学、实验物理学、偏微分方程的物理学应用、物质运动论和相对论等。许多年后，哥德尔提到有两位老师促使他放弃了物理，转投更抽象的纯粹数学。第一位是海因里希·贡培兹，他在维也纳大学主讲一门介绍哲学主要命题的概论课程。另一位是魅力非凡的菲利普·富特文勒。这位自学成才的数论学家开设了一门大课，吸引了400名学生来听课，远远超过了讲堂的座位数量。
学生时代的哥德尔
哥德尔最终是在1926—1927学年伊始做出了主攻数学的决定。大约10年间，一小群人聚在一起进行学术交流的现象蔚然成风，不断涌现的新哲学思潮使维也纳成为世界上最令人心驰神往的学术之都。这股潮流的中流砥柱之一正是哥德尔的答辩导师汉斯·哈恩，哈恩的身边聚集着许多才华横溢的年轻思想者，充沛的精力和创造的欲望让他们之间的碰撞迸射出耀眼的火花，最终推倒了横亘在哲学和科学之间的高墙。如果不是哈恩的小圈子，就不会有那么多人注意到路德维希·维特根斯坦及其惊世骇俗却发人深省的哲学理论，更不会出现用自己的思想反哺他人的杰出学者，比如提出可证伪性的卡尔·波普尔和提出不可证明性的哥德尔。
1928年9月，哥德尔的两位导师汉斯·哈恩与卡尔·门格尔前往意大利波隆那参加四年一度的国际数学家大会。从多个角度来看，这次会议都意义非凡。1916年，国际数学家大会因为第一次世界大战而停办。战争结束后，组织和管理该会议的法国人依然无法与“一战”中的敌国冰释前嫌，在他们的影响下，1920年和1924年的两届大会均禁止德国、奥地利的数学家出席，于是1928年的大会就成了这两国学者的首次回归。
在演讲的最后，希尔伯特一如既往地向与会的数学同行提出了一系列新问题，这些问题都与当时困扰数学界的“动摇根基的危机”有关。希尔伯特在演讲里把它们称作“为数学奠定基础的问题”，他认为只要解决了这四个问题，数学就可以拥有无懈可击且不可动摇的理论基础。
前两个问题旨在建立数学系统的“自洽性”，也就是消除数学理论相互之间的矛盾。第三个问题涉及以完备性为前提的衍生性质，即同一系统内所有为真的陈述都可以由该系统包含的基本公理推导得出。第四个也是最后一个问题是，证明逻辑系统的基础——一阶逻辑或谓词逻辑——的完备性。至于为何要解决这几个问题，希尔伯特的解释是，这样就可以“一劳永逸”地排除任何对数学基础理论可靠性的质疑，未来的数学家只需放心大胆地把精力全部放在推理和寻找新成果上。讲到这里，希尔伯特环顾四周，然后对“有志投身于数学研究的年轻数学家”说，想要完全解决这些具有里程碑意义的问题，需要他们“通力合作”。
22岁的哥德尔没有浪费分毫的时间，立即着手解决这些问题。不到6个月，他在博士毕业论文答辩中解决了希尔伯特提出的第四个问题。更令人震惊的是，哥德尔在一年后证明了试图解决前三个问题的努力是徒劳，这个研究成果最终确立了他在数学界的地位，也颠覆了数学家此前的期望——构建一个兼具自洽性与完备性的数学理论系统。
1929年2月，距离希尔伯特在波隆那大会上号召大家解决那4个问题还不到半年，哥德尔就提交了自己的毕业论文。在希尔伯特的号召下涌现的“有志于投身数学研究的年轻数学家”中，哥德尔通过证明一阶逻辑的完备性，推动形式主义迈进了一大步，他的贡献超过了其他人的总和。
哥德尔的论文《论逻辑演算的完备性》于1929年7月13日由哈恩和富特文勒教授评审通过。1930年2月，23岁的哥德尔获得了博士学位。这篇论文的篇幅很短，当年晚些时候，它被刊发在《数学与物理学月刊》上，全文仅有两页。
哥德尔在毕业论文中论证和阐述了一阶逻辑系统不仅适用于推导所有的逻辑命题，而且它的各个公理之间相互独立且无法相互推导，因此一阶逻辑系统内的每个公理都是不可或缺的。
虽然让哥德尔震惊数学界并名扬天下的其实是他在几个月后发表的不完备性定理，但仍有一些逻辑学家认为知名度较低的完备性定理更加重要。“完备性定理非常强大，至今仍有基于它的新推论被发现。”杰拉德·萨克斯在2007年评论说，“它可以从一个很简单的假设出发，搭建出非常坚实的数学理论系统。它还适用于其他领域，不只是专属于数学研究。”
1930年9月第二次卫星会议在柯尼斯堡举行,会议的主题是“精密科学的认知论”，高潮部分当属会议的开幕环节，研究数学基础理论的三大学派纷纷派出代表，阐述各自的观点和理念。卡尔纳普是逻辑主义学派的代表，约翰·冯·诺依曼是形式主义学派的发言人，直觉主义学派的人选是布劳威尔最得意的学生阿恩特·海廷。三人发言之后，由魏斯曼代表维特根斯坦，论述数学在本质上属于套套逻辑的观点。
按照会议日程，哥德尔会在第二天就他刚刚完成的研究论文发表演讲，题目是《逻辑演算的完备性》。演讲的最后一分钟，哥德尔第一次以“公开”的形式将他的新发现和盘托出。介绍完完备性定理，他实事求是地说道："倘若完备性定理也能在更高阶的逻辑系统（涵盖范围更广的泛函演算）内得到证明，逻辑的通用性就可以得到充分证实，可判定性也不言自明了……如此一来，任何能在《数学原理》中被明确表述的算法和分析问题，就都有了可解决性。不过，根据我刚刚介绍的证明方法，完备性定理向高阶逻辑系统的扩展是不可能实现的。也就是说，有些数学问题虽然可以用《数学原理》的范式描述，但无法用它的逻辑手段解决。对这个问题的进一步阐述会大大偏离今天的主题，此处不做赘述。"
哥德尔的成果很快散播开来，虽然很多人都不能第一时间弄明白他到底证明了什么，但显然人人都知道这个消息的意义非同小可。“哥德尔先生怎么了？”哥德尔摧毁了数学以逻辑自洽性为基础的所有可能性，最早意识到这一惊天意义的人是约翰·冯·诺依曼，他在柯尼斯堡那场会议结束后立马找到哥德尔，深入询问和探究了后者的成果。冯·诺依曼当时也在研究数学的自洽性问题，而且几乎同时与哥德尔走上了同一条道路。
柯尼斯堡会议结束后过了大约两个月，1930年11月20日，冯·诺依曼给哥德尔写了一封信。一方面，他对哥德尔定理的发表致以热烈的祝贺（盛赞其为“长久以来最伟大的逻辑学发现”）；另一方面，冯·诺依曼在信中称他从哥德尔定理出发，推导出了一个“重要”结论。他在信里附上了一个简化版的证明，按照这个证明，如果哥德尔的不完备性定理成立，我们就永远不可能证明任何自洽系统的自洽性。一时间，这封信令哥德尔寝食难安。哥德尔立刻写了回信，并告诉冯·诺依曼他其实已经得出了这个结论。为了佐证自己的说法，哥德尔还随信寄去了一份文稿的复印件，那是他在1930年9月寄给维也纳科学院的一篇摘要。冯·诺依曼很快做出了回复：“既然你已经建立了不可证明性定理，那么我会放弃发表该结论。”
哥德尔一直在思考他的定理对数学和哲学的整体影响和意义。虽然他晚年悲观地认为他一辈子只是在“证伪可能性”，但此时乃至此后很长一段时间内，哥德尔都为他发现的惊人结论感到欢欣鼓舞。他认为，这个结果表明数学理论是“无法穷尽的”：人类的头脑总是可以发现新的数学真理。如果一个形式系统无法推导出某个数学真理，那恰恰说明人类的直觉是任何机器都无法模拟和复制的。就哥德尔而言，他并不认为自己的发现“颠覆”了希尔伯特理论，它仅仅意味着我们需要更努力地运用人类的智慧，在现有的基础上探索出新的道路，去发现那些亟待发现的真相。
1933年1月，阿道夫·希特勒在德国上台后，门格尔帮哥德尔获取了一个普林斯顿高等研究院的职位。“一份为期一年的合约，年薪在2 500美元上下……原则上他不需要授课，但如果他有讲课或组织研讨会的需要，也完全不用担心，这里有很多愿意捧场的大学生……这个职位可以让哥德尔先生享受一年的自由时间，他可以在宜人的环境里尽情开展自己的研究工作。”
一年后，哥德尔依然选择回到维也纳。回到维也纳的哥德尔发现城里到处充满了暴力和焦躁。1934年5—7月，几乎每天都会发生爆炸和枪击事件，纳粹攻击的目标包括政府官员、政府办公大楼、发电站、供水设施，还有对奥地利经济至关重要的旅游胜地。
从美国回来后，1934年6月，哥德尔在门格尔讨论小组的研讨会上报告了一篇论文，主要内容是将不完备性定理扩展到更高阶的逻辑系统内，这不仅使得某些在低阶逻辑系统内的不可判定命题变得可证，还大大简化了一些在低阶逻辑系统内得证命题的证明过程。哥德尔的这篇论文对后来出现的计算机科学有着重要意义，它被用于缩减计算机程序的长度，也就是解决“加速”问题。
回到维也纳的哥德尔出现了严重精神障碍的疑似症状——体重下降和失眠。1934年10月哥德尔在疗养院里住了8天。从哥德尔后来向埃里克医生主诉的种种情况看，如果放在今天，他很有可能会被诊断为强迫型人格障碍：有极端完美主义的倾向；对细枝末节过分关注以致影响了执行力；强迫性地列表格、做笔记和遵守规则；做事死板，畏手畏脚；坚持认为自己的强迫症行为是合理的，甚至乐在其中。哥德尔还有一定程度的偏执型人格障碍：他曾经怀疑有人要害他，偷偷给他吃他不想吃的药；他变得异常自我封闭，怀疑同事想暗算他或毁掉他的生活。
1936年1月下旬，哥德尔在家人的坚决要求下住进了位于雷卡温库的疗养院，他此后往来于雷卡温库和普克斯多夫之间，疗养时间为4个月。
住在疗养院里的哥德尔经历了人生中最黑暗的一段时光。他感觉自己可能命不久矣，而1935年秋跟维布伦提过的重要研究可能会因此胎死腹中，每每想到这里，哥德尔都痛苦万分。他当时正在研究两个十分关键但又充满争议的集合论公理——选择公理和连续统假设，而且已经有了大致的方法可以证明这两个公理与其他基础公理之间并不相互矛盾。约翰·冯·诺依曼后来告诉摩根斯特恩，因为他频繁地往来于美国和欧洲，有一次他趁机去疗养院探望了哥德尔，当时哥德尔的情况很糟。
疗养结束后，哥德尔坚信在普克斯多夫疗养院和雷卡温库疗养院的经历对他造成了永久性伤害。此后，担心有人偷偷下药毒害他成了他脑中挥之不去的念头，有时候这种疑心病的彻底爆发还会导致他产生幻觉。20世纪70年代，哥德尔经历了一次严重的被害妄想症发作，他声称在那两家疗养院里曾被施用过一种强心剂——毒毛旋花苷，疗养院的人偷偷把药下在他的饭菜里，或晚上偷偷给他注射；而眼下他觉得有人在晚上撬开了他的房门，溜进来给他注射了他不需要的药物。
虽然哥德尔对疗养院有诸多控诉，但他在普克斯多夫被迫接受激进疗法的可能性并非不存在，而且情况有可能比他描述的更糟糕。曾经有一种相当可怕但几乎没什么用的疗法，即所谓的“胰岛素休克疗法”，它的发明者是曼弗雷德·塞克尔医生，哥德尔住进普克斯多夫疗养院的时候正值塞克尔医生在那里行医。胰岛素休克疗法是电休克疗法的前身，通过反复给患者注射胰岛素，使其陷入由低血糖引起的昏迷。这种治疗方式的副作用很多，包括极度的躁动、严重的惊厥，甚至有可能造成永久性脑损伤和死亡。虽然没有证据显示哥德尔遭受了这种酷刑式的疗法，但他一直声称疗养院的“毒毛旋花苷”对他的大脑造成了不可逆的损伤。
1937年，哥德尔认识的每个人都在拼命地寻找出路，他们愿意为了一份糊口的工作去任何地方，除了自己的祖国。哥德尔本人却对自己的未来犹豫不决，生活也陷入了停滞状态。1938年2月21日，弗莱克斯纳再次给哥德尔写信，“以莫大的荣幸”邀请他1939年重返普林斯顿，无论是在第一个学期还是第二个学期入职都行，薪金为2 500美元，而且不限制他的日程，中途他随时可以去诺特丹大学。三个星期后，维也纳沦为一座地狱之城。
4月22日，政府下令暂时冻结所有大学讲师的授课资质，第二天，哥德尔收到了代理校长维克多·克里斯蒂安的信件，被告知了这个政府决议。即使是那些没有被彻底剥夺教学资格的人，也需要重新申请“新秩序讲师资格”才有机会回到讲台上。这下子，哥德尔就连“名义上的工作”也没有了。当年10月，哥德尔再次回到普林斯顿。
重回普林斯顿后，哥德尔铆足了劲儿，在高等研究院的新院区重新开启了他的学术生涯。他又开始给学生授课，不过同往常一样，学生们又走得七七八八，到了期末他的课上已经不剩几个人了；耶鲁大学邀请他去做演讲，主题是关于直觉主义逻辑学；他最重要的工作是，给证明连续统假设自洽性的研究收尾。关于连续统假设的证明是哥德尔在数学上最重要的贡献之一，与他的不完备性定理不相伯仲，它不仅构成了集合论和无穷概念的理论根基，也代表了哥德尔对数学真理和事实的哲学认识。
哥德尔的证明工作让数学家在解决这个问题的道路上迈进了一大步，这也是他人生中第三次成功解决著名的希尔伯特难题。哥德尔证明了在集合论的基本公理框架内，康托尔的连续统假设不会引起矛盾，所以它在现有理论中至少是自洽的；换言之，现有的公理系统无法推导出与连续统假设相悖的结论。除了连续统假设以外，哥德尔还证明了选择公理也有同样的性质，选择公理是另一个关乎集合论根基的问题。哥德尔关于连续统和选择公理的研究表明，此后数学家可以根据需要，把其中一个甚至是两个同时纳入集合论的自洽公理系统，而无须担心在此基础上推导出的结论会在该公理系统内引起冲突或矛盾。
1948年哥德尔通过美国公民资格的面试审查，取得美国国籍。同时，普林斯顿高等研究院的正式任命也终于下来了，终身教职外加50%的涨薪，使他的年薪达到了6 000美元。毫无意外，促成这项任命的最大功臣是冯·诺依曼。
1951年年初，美国数学学会决定授予哥德尔一项殊荣，邀请他作为约西亚·威拉德·吉布斯论坛的主讲嘉宾，哥德尔将成为第一个在吉布斯论坛上发表演讲的逻辑学家。这是哥德尔人生中的最后一次公开演讲，他用最清晰有力的措辞阐释了对柏拉图主义、数学的性质和什么是数学真理的看法。
在吉布斯论坛的演讲中，哥德尔提出了几个强硬的主张，坚决地驳斥了数学只是人类发明的一种工具的说法。他的第一个理由是，创造者在数学领域里的创造活动“并没有那么自由，与其他人类创造活动的随心所欲程度相去甚远”，因为数学领域的创造物一经产生就会有自己的生命，它们不会对创造者百依百顺，甚至会反客为主，去为难和操控它们的创造者。
随后，他用惊人的方式把数学性质的哲学内涵同不完备性定理联系起来。哥德尔关于不完备性定理的两篇论文（分别对应两个不完备性定理）都旨在论证，单个明确定义的公理系统永远无法通过有穷步的推理涵盖数学的所有内容。哥德尔指出，我们由此得到了一道有趣的二选一的选择题：要么是人类的大脑非常特别，虽然有些数学公理永远不可能被简化成有穷步的推理过程，人脑却能轻易地感知到它们的存在，这意味着人类的头脑“无限优越于只能进行有穷步计算的机器”；要么是存在这样一类问题，它们不只在某个特定的形式系统内不可判定，而是在任何形式系统内都不可判定，是“绝对”的不可判定命题。
哥德尔评论说，无论答案是哪一个，都“显然与唯物主义哲学背道而驰”。如果答案是人脑优于机器，我们就不能把数百亿个神经元通过互相协作产生的生理机能等同于人类思维，因为神经元的数量再多也终归是有限的，如此一来，我们就不得不借助人类灵魂的概念了；而如果人脑只是一台计算机器，它就逃不出不完备性定理划定的边界，我们也不得不接受一个痛苦的事实，即至少存在一些与算术有关的事实，它们超出了人脑的感知和理解范围。哥德尔由此得出结论：“这似乎表明，数学研究的对象和事实（至少是其中某些事实）是客观存在的，它们独立于人类的精神活动和思维决策，也就是说，数学的研究对象多少有些柏拉图主义或‘现实主义’的意味。”
哥德尔承认，由于“我们这个时代的哲学火候尚欠”，这样的观点无法通过像数学理论那样严密的方式加以论证。不过哥德尔也提出，数学基础理论的发展，尤其是他的不完备性定理，至少成为对上述结论强有力的支撑，并且足以驳斥“数学完全是一种人为发明的句法系统及其衍生物”的观点。
虽然世界局势风云变幻，哥德尔的身体状况也一直没有起色，这些让他每天忧心忡忡，与此同时，哥德尔的疑病症有所恶化。疑病症的发作原因至今仍不甚明确，但像强迫症这类焦虑症状一样，病情的加重未必与特定的外部事件有关，更多的是因为当事人走进了自我暗示和自我设障的逻辑死胡同。哥德尔过分执着于在日常琐事里寻找隐藏的原因，他也坚信在数学领域里存在绝对的真理，而对于自己的病情，哥德尔却极度不相信基于经验主义的医学证据。虽然不能笃定地说这就是因和果，但你很难忽略这些特质之间可能存在的某种关联。无法容忍不确定性是绝大多数疑病症患者的突出特征，它让患者倾向于把无害的躯体症状当成是严重疾病的征兆：焦虑的心情催生寻求安心的举动，求而不得的结果只会产生反效果，进一步加剧患者的焦虑和恐惧，如此恶性循环。
对哥德尔来说，比疑病症更严重的问题在于，他的自我诊断逐渐演变成了自我实现的预言。哥德尔开始给自己开乱七八糟的药，比如泻药、抗生素等，但这些药往往加剧甚至引发了他所担心的疾病，毕竟滥用药物绝对弊大于利。他收集处方药和非处方药，然后按照自己的理解服用：用健乐仙搭配碳酸盐药片治疗消化不良（他设了闹钟，时间一到就服下一剂）；用颠茄治疗肠易激综合征；体温升高不到一度，他就会服用青霉素、金霉素或土霉素。他每天还会吞下药箱里的所有泻药：镁乳、乳糖醇、美达施、通利妥、番泻苷，以及一种号称有奇效、名为“库雷拉”的专利药物。
1955年4月，爱因斯坦的去世触动了哥德尔的神经，他一直以来都极力逃避和拒绝接受熟人死亡事件。爱因斯坦和哥德尔对死亡的看法也截然相反。两年后冯·诺依曼的去世对哥德尔来说更加难以面对。
哥德尔第一次在公众面前崭露头角是在1956年，他在科普杂志《科学美国人》上发表了一篇用通俗的语言解释何为不完备性定理的文章，后来市面上出现了一本篇幅不长的书——《哥德尔的证明》，这本书名平平无奇的书大获成功，成了被读者追捧的数学读物。1963年，《时代生活丛书》的数学卷用几页纸的篇幅专门介绍了哥德尔，其中还包括一张由著名摄影师阿尔弗雷德·艾森斯塔特给他拍摄的肖像照，占了整整一页。这本书的出版给哥德尔带来了更多的大众关注度。
1970年春，普林斯顿大学的学生和教师为了抗议美国把战争扩大到柬埔寨境内，宣布罢课4天。在那个艰难的春天，长期遭受慢性焦虑和疑病症折磨的哥德尔又患上了偏执型妄想症。他幻想有一个黑色幽灵闯进了他的房间，强行给他注射药物，而他的哥哥鲁迪就是幕后黑手。1974年4月，突然发作的尿道堵塞严重影响了哥德尔的身心健康。他的精神状态也时好时坏，总是在陷入低迷的偏执型妄想症后又紧接着经历一段精神高涨的头脑清醒期，如此反反复复。到了1976年，他的精神状况已经差到极点，只在阿黛尔的强烈要求下才于1977年2月重新回到埃里克医生的诊所就诊。这次他的妄想症更严重了，比如，他坚持认为纳粹党想给他扣上一顶精神失常的帽子；国税局因为他没能依法缴纳与其工资相当的社会保障费而在追查他；高等研究院将不再给他发放退休金；由于当初曾向纳粹政府承诺会如期返回奥地利而最后未能兑现，哥德尔认为他害得哥哥一直被关押在集中营里；他觉得在美国自我感觉良好是自欺欺人，其实美国人都讨厌他；他是个恶劣的人；给他治病的医生都是骗子；他那篇关于卡尔纳普的文章放在办公桌上，还没来得及完成就被恶灵偷走了；好友亚布拉罕·瓦尔德并没有在航空事故里丧生，他活了下来并隐姓埋名地在苏联生活。12月29日，阿黛尔终于说服哥德尔住进了普林斯顿医院。1978年1月14日，哥德尔在医院去世，死前他蜷缩在病床上，就像一个安静的胎儿。在他人生的最后几个星期，哥德尔一直拒绝进食。在医院出具的死亡证明上，他的死因是“由人格障碍导致的营养不良和体弱无力”。
哥德尔虽然去世了，但他的名气却越来越大。1979年，美国作家侯世达的旷世奇书《哥德尔、艾舍尔、巴赫：集异璧之大成》登上畅销书榜，把哥德尔的名望推上了新的高峰。侯世达在书中以哥德尔的证明工作为引子，探讨了艺术、音乐和思想领域中的自我指涉形式。不过，这本书并没有在哥德尔身上花多少笔墨。严谨的数学证明并非哥德尔在世俗文化里占有一席之地的原因，真正对公众产生无穷吸引力的是不完备性定理的衍生观念：这个世界上存在无法被证明的真理。哥德尔的人气高涨，美国数学家、作家乔丹·艾伦伯格评价他是“浪漫主义者最喜爱的数学家”。在后现代主义反对者艾伦·索卡尔和让·布里克蒙看来，同海森堡的不确定性原理和爱因斯坦的广义相对论一样，哥德尔的不完备性定理“成了知识滥用的不竭源泉”。
无论对数学还是哲学而言，不完备性定理一直都是令人头疼的问题，但与当初的设想不同，许多时候它带来的麻烦微妙且有趣。与哥德尔同时代的人认为不完备性定理简直是数学界的“大灾难”，而随着时间的推移，数学家对它的恐惧正在逐渐消减。高等研究院的艾维·威格森是哥德尔衣钵的继承者之一，他曾说“数学还是一如既往地欣欣向荣”。威格森指出，虽然哥德尔证明了数学领域的某些重要命题（比如连续统假设）的真伪性在特定的形式系统内是不可判定的，但关于“是否存在某些有趣的数学事实，它们在任何情况下都是不可知的”这个问题，却始终没有明确的答案。
相比激励数学家寻找不完备性定理的实例，哥德尔不完备性定理最实际的意义在于，它就像一块提醒数学家的指路牌：如果没有特殊理由，就不需要沿着这条曾被前人看好的死路继续走下去。
类似的情况也发生在哲学界，“世界上存在着超出人类理解能力的真理”的说法曾让哲学家惊惧和气馁，但时过境迁，今天的哲学界已不像当初那么惊慌失措了。按照哲学家罗伯特·福格林的说法（当然这是戏谑的调侃），对人类认知极限持怀疑态度的人分为两个派别，其区别只在于他们有多在意这个事实，一个是东海岸怀疑论学派，另一个是西海岸怀疑论学派。“东海岸学派承认他们的知识是有限的并深受其扰，”福格林说，“西海岸学派则正相反，他们并不为此烦恼。”
哥德尔坚信他的证明恰恰说明人类的创造力是非比寻常的。他一贯的主张是，人类总能通过直觉认识到一些真理，人类认知的自洽性无须证明，哪怕最先进的计算机也难以企及。如果哥德尔的定理及由这些定理推导出的结论是正确的，就意味着能够完美复制人脑推理、学习、计划和解决问题能力的计算机将沦为无源之水，永远不可能被制造出来。在知识鞭长莫及的认知极限之外，确定性成了虚无缥缈的空谈，哥德尔深知，只有人类的精神不可替代，并且独一无二。
杰拉德·萨克斯曾对哥德尔做出了精辟的评价：“他让数学变得更有趣。”虽然“他的哲学思想相当复古”，但他从未怀疑过这一点：只要是人脑能提出的问题，它就能够得到解决。 [1]