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內容簡介
哥德爾被美國《時代周刊》評為20世紀最有影響力的100個人之一，愛因斯坦稱其為自亞里士多德之後最偉大的邏輯學家，他的理論為計算機科學和人工智能領域的發展奠定了基礎。他提出的哥德爾不完備性定理，堪稱數學邏輯理論中最偉大的發現，至今仍影響着人工智能領域的發展。
哥德爾早年就職於維也納大學，後因戰亂逃離歐洲，輾轉來到普林斯頓高等研究院。在這裡，他逐漸融入了美國的生活，並與愛因斯坦結下了深厚的情誼，成為科學史上的一段佳話。晚年的哥德爾獲得終身教職，但最後因被害妄想症悲慘離世。
他的一生在哲學、數學、人工智能等領域都提出了顛覆性的理論，甚至涉獵了相對論。如果哥德爾的定理以及由此推導出的結論是正確的，就意味着人類將永遠不能製造出能夠完美復刻人腦推理、學習、計劃、解決問題能力的計算機。
作者簡介
斯蒂芬·布迪安斯基（Stephen Budiansky），美國傳記作家、科普作家、古根漢研究員，英國《科學》期刊編輯；《紐約時報》《華盛頓郵報》《經濟學人》自由撰稿人，先後出版過17部作品，代表作如《霍姆斯傳》。
原文摘錄
哥德爾清楚地知道，他被世人所知的都是一些否定的結論（哥德爾的其他重大貢獻在他去世之後才被陸續重新發現）。而且，可能為真卻無法證明的數學定理的存在，也意味着我們也許永遠無法窺視到啟動這個世界的神秘之手。世俗的我們不會為這個費神，但哥德爾會。這種陰影一直伴隨着哥德爾，也可以理解成他罹病的一部分精神原因。我個人認為，即便科學活動的最終結果只是發現，探索行動中的發明，比如哥德爾在證明中使用的手段（比如哥德爾數），也是先驗世界中沒有包含的，是人類文明活動璀璨的新結果。 到了1900年，奧地利的經濟增長速度已經超過了英國，紡織品、鋼鐵、玻璃、機械、樂器等商品貿易的繁榮壯大了國內的中產階級隊伍。無論是哥德爾父親還是母親的家族，都曾受益於奧地利這段以發展與和平為主旋律的時期，他們花了兩代人的時間，從皮革廠、紡織廠和裝訂廠的手工工人變成了擁有自家紡織廠的經營者。當時是19世紀中葉，正值紡織業在布呂恩蓬勃發展的年代。 除了經濟上的亮眼表現之外，奧地利還一躍成為文化、思想和科學的中心。無論在哪個方面，它都一反因循守舊的落後常態，與過去形成了鮮明的對比。法國小說家斯塔爾夫人曾於1808年到訪奧地利，當她想在寄回法國的書信里談談奧地利的科學和文學時，卻發現乏善可陳。「這個國家太平淡了，」斯塔爾夫人寫道，「每個生活在奧地利的人，不論階級，都只管享受國家帶給他們的歲月靜好，而沒人在乎思想上的進步和精神上的愉悅。」
書評
1906年，哈布斯堡王朝在世人眼裡尚有萬古長存的勢頭。
那一年，哥德爾出生在一棟由他父親親手建造的鄉野別墅里。哥德爾出生於有着典型的帝國城市風貌的布呂恩：一條氣派而熱鬧的環城大道；一座由市政府籌建和運營的大劇院，定期邀請維也納的巡演團隊，出演最新最熱的劇目；在專門為想去維也納、布拉格或切爾諾維茨上大學的學生們設立的文科中學，教授奧地利帝國的通用中學課程；市區裡的自由廣場熙熙攘攘，哥德爾的母親經常光顧廣場附近一家名為「肖普」的咖啡廳，在那裡同她的好友和閨蜜度過了無數悠閒的午後時光。這一幅安寧美好的盛世景象都將在「一戰」的炮火里灰飛煙滅：時代劇變正在醞釀，戰爭一觸即發；雖然暗流涌動，但人們依然安居樂業，對危機毫無察覺。
哥德爾的童年和青年時期正值第一次世界大戰前後，他的生活富裕而安寧，這都得益於布呂恩蓬勃發展的紡織業。哥德爾在故鄉布呂恩度過了人生最初的18年，那裡在工業革命開始前是一座規模不大的中世紀要塞，名不見經傳，在歷史舞台上只出現過兩次。第一次是在1645年，在歐洲三十年戰爭期間它英勇地抵擋了瑞典軍隊的圍攻；第二次是在1805年，俄奧聯軍在一場改變歐洲軍事格局的戰役中慘敗給拿破崙，奧地利皇帝被迫放棄神聖羅馬皇帝的頭銜，雙方交戰的主戰場奧斯特里茨就在布呂恩附近。雖然它從前沒什麼名氣，但憑藉優越的地理位置（位於帝國首都維也納北部70英里處；在多瑙河兩條支流的交匯點上，其豐富的水力資源可作為工廠水車的動力），布呂恩在奧匈帝國工業緩慢覺醒的幾十年內，成為最早受益於技術革命的城市之一。
從哥德爾家出發，往山下的方向走大約10分鐘，就可以到達老布呂恩城區的奧古斯丁修道院。格雷戈爾·孟德爾曾在這裡蟄居10年，潛心研究了10 000株豌豆的花朵、豆莢和種子，一絲不苟地反覆做着雜交、分類和計數的工作，由此奠定了現代遺傳學的基礎。1910年，人們在修道院花園前的廣場上立起了一尊孟德爾的大理石雕像，上面刻有「科學界友人贈」幾個字，全歐洲的知名生物學家紛紛到布呂恩瞻仰這座雕像。
庫爾特·哥德爾的家人在他小時候就看出他天資聰穎，哥德爾4歲時他們給他起過一個外號——「為什麼先生」。在哥哥魯迪的記憶中，哥德爾「總有問不完的問題，總想打破砂鍋問到底」。哥德爾本人對此的回憶和評述不同於家人口中的溫馨故事，顯得有些尖銳甚至是輕蔑。大約半個世紀後，哥德爾在普林斯頓告訴他的精神科醫生，他從小就「好奇心旺盛，質疑權威，渴望理性」，這也是他在青春期與父親鬧僵的原因之一。青少年時期的哥德爾經常不參加家庭例行的周日郊遊活動，而是獨自待在家裡埋頭看書。
庫爾特·哥德爾就讀於福音派小學，在4年的學校生活中，他經常因為生病而請假。庫爾特8歲時患了嚴重的風濕熱，大病一場後，他一直認為自己的心臟受到了永久性損傷，機能無法完全恢復。在母親看來，這場病可能是小兒子疑病症的誘因。幾年後，他又接受了一次闌尾切除術，那場手術非常順利，沒有出現任何併發症。庫爾特在學校取得了近乎完美的成績，有一句俗語叫「樣樣拿第一的孩子」，用它來形容庫爾特真是再貼切不過了。在1916年7月頒發的小學畢業證書上，庫爾特的每個大項都獲得了最高評價（「優異」），比如宗教、語言、算術，操行評定也是「值得表揚」。同年秋天，他進入布呂恩當地的一所實科中學就讀，這所中學的全名是帝國皇家國立德語實科中學。
哥德爾在實科中學度過了8年時光，高中階段的課程包括拉丁語、法語、德語、數學、物理學、化學、地理學，以及歷史、博物學、徒手繪畫和宗教。除此之外，哥德爾還選修了英語和加貝爾斯貝格速記法。在課餘時間，魯道夫還聘請了私教給兩兄弟上英語課。
哥德爾11歲時的學業成績單
可以確定的是，哥德爾14歲時就已經沉迷於數學和哲學而無法自拔了。他自學了微積分和大學階段的其他數學專業課，並在16歲時第一次閱讀了康德的作品。
1924年，從中學畢業的哥德爾加入了德裔捷克人的移民大軍，一心前往已經成為歷史的奧地利帝國曾經的首都維也納。他搬進了哥哥魯迪的公寓，在距離維也納大學5個街區的地方開始了全新的生活。
哥德爾原本想研究物理學，在大學的前兩年，他把每周的課程都安排得滿滿當當，如饑似渴地學習各種專業課程，比如電學理論、理論物理學、變形體力學、實驗物理學、偏微分方程的物理學應用、物質運動論和相對論等。許多年後，哥德爾提到有兩位老師促使他放棄了物理，轉投更抽象的純粹數學。第一位是海因里希·貢培茲，他在維也納大學主講一門介紹哲學主要命題的概論課程。另一位是魅力非凡的菲利普·富特文勒。這位自學成才的數論學家開設了一門大課，吸引了400名學生來聽課，遠遠超過了講堂的座位數量。
學生時代的哥德爾
哥德爾最終是在1926—1927學年伊始做出了主攻數學的決定。大約10年間，一小群人聚在一起進行學術交流的現象蔚然成風，不斷湧現的新哲學思潮使維也納成為世界上最令人心馳神往的學術之都。這股潮流的中流砥柱之一正是哥德爾的答辯導師漢斯·哈恩，哈恩的身邊聚集着許多才華橫溢的年輕思想者，充沛的精力和創造的欲望讓他們之間的碰撞迸射出耀眼的火花，最終推倒了橫亘在哲學和科學之間的高牆。如果不是哈恩的小圈子，就不會有那麼多人注意到路德維希·維特根斯坦及其驚世駭俗卻發人深省的哲學理論，更不會出現用自己的思想反哺他人的傑出學者，比如提出可證偽性的卡爾·波普爾和提出不可證明性的哥德爾。
1928年9月，哥德爾的兩位導師漢斯·哈恩與卡爾·門格爾前往意大利波隆那參加四年一度的國際數學家大會。從多個角度來看，這次會議都意義非凡。1916年，國際數學家大會因為第一次世界大戰而停辦。戰爭結束後，組織和管理該會議的法國人依然無法與「一戰」中的敵國冰釋前嫌，在他們的影響下，1920年和1924年的兩屆大會均禁止德國、奧地利的數學家出席，於是1928年的大會就成了這兩國學者的首次回歸。
在演講的最後，希爾伯特一如既往地向與會的數學同行提出了一系列新問題，這些問題都與當時困擾數學界的「動搖根基的危機」有關。希爾伯特在演講里把它們稱作「為數學奠定基礎的問題」，他認為只要解決了這四個問題，數學就可以擁有無懈可擊且不可動搖的理論基礎。
前兩個問題旨在建立數學系統的「自洽性」，也就是消除數學理論相互之間的矛盾。第三個問題涉及以完備性為前提的衍生性質，即同一系統內所有為真的陳述都可以由該系統包含的基本公理推導得出。第四個也是最後一個問題是，證明邏輯系統的基礎——一階邏輯或謂詞邏輯——的完備性。至於為何要解決這幾個問題，希爾伯特的解釋是，這樣就可以「一勞永逸」地排除任何對數學基礎理論可靠性的質疑，未來的數學家只需放心大膽地把精力全部放在推理和尋找新成果上。講到這裡，希爾伯特環顧四周，然後對「有志投身於數學研究的年輕數學家」說，想要完全解決這些具有里程碑意義的問題，需要他們「通力合作」。
22歲的哥德爾沒有浪費分毫的時間，立即着手解決這些問題。不到6個月，他在博士畢業論文答辯中解決了希爾伯特提出的第四個問題。更令人震驚的是，哥德爾在一年後證明了試圖解決前三個問題的努力是徒勞，這個研究成果最終確立了他在數學界的地位，也顛覆了數學家此前的期望——構建一個兼具自洽性與完備性的數學理論系統。
1929年2月，距離希爾伯特在波隆那大會上號召大家解決那4個問題還不到半年，哥德爾就提交了自己的畢業論文。在希爾伯特的號召下湧現的「有志於投身數學研究的年輕數學家」中，哥德爾通過證明一階邏輯的完備性，推動形式主義邁進了一大步，他的貢獻超過了其他人的總和。
哥德爾的論文《論邏輯演算的完備性》於1929年7月13日由哈恩和富特文勒教授評審通過。1930年2月，23歲的哥德爾獲得了博士學位。這篇論文的篇幅很短，當年晚些時候，它被刊發在《數學與物理學月刊》上，全文僅有兩頁。
哥德爾在畢業論文中論證和闡述了一階邏輯系統不僅適用於推導所有的邏輯命題，而且它的各個公理之間相互獨立且無法相互推導，因此一階邏輯系統內的每個公理都是不可或缺的。
雖然讓哥德爾震驚數學界併名揚天下的其實是他在幾個月後發表的不完備性定理，但仍有一些邏輯學家認為知名度較低的完備性定理更加重要。「完備性定理非常強大，至今仍有基於它的新推論被發現。」傑拉德·薩克斯在2007年評論說，「它可以從一個很簡單的假設出發，搭建出非常堅實的數學理論系統。它還適用於其他領域，不只是專屬於數學研究。」
1930年9月第二次衛星會議在柯尼斯堡舉行,會議的主題是「精密科學的認知論」，高潮部分當屬會議的開幕環節，研究數學基礎理論的三大學派紛紛派出代表，闡述各自的觀點和理念。卡爾納普是邏輯主義學派的代表，約翰·馮·諾依曼是形式主義學派的發言人，直覺主義學派的人選是布勞威爾最得意的學生阿恩特·海廷。三人發言之後，由魏斯曼代表維特根斯坦，論述數學在本質上屬於套套邏輯的觀點。
按照會議日程，哥德爾會在第二天就他剛剛完成的研究論文發表演講，題目是《邏輯演算的完備性》。演講的最後一分鐘，哥德爾第一次以「公開」的形式將他的新發現和盤托出。介紹完完備性定理，他實事求是地說道："倘若完備性定理也能在更高階的邏輯系統（涵蓋範圍更廣的泛函演算）內得到證明，邏輯的通用性就可以得到充分證實，可判定性也不言自明了……如此一來，任何能在《數學原理》中被明確表述的算法和分析問題，就都有了可解決性。不過，根據我剛剛介紹的證明方法，完備性定理向高階邏輯系統的擴展是不可能實現的。也就是說，有些數學問題雖然可以用《數學原理》的範式描述，但無法用它的邏輯手段解決。對這個問題的進一步闡述會大大偏離今天的主題，此處不做贅述。"
哥德爾的成果很快散播開來，雖然很多人都不能第一時間弄明白他到底證明了什麼，但顯然人人都知道這個消息的意義非同小可。「哥德爾先生怎麼了？」哥德爾摧毀了數學以邏輯自洽性為基礎的所有可能性，最早意識到這一驚天意義的人是約翰·馮·諾依曼，他在柯尼斯堡那場會議結束後立馬找到哥德爾，深入詢問和探究了後者的成果。馮·諾依曼當時也在研究數學的自洽性問題，而且幾乎同時與哥德爾走上了同一條道路。
柯尼斯堡會議結束後過了大約兩個月，1930年11月20日，馮·諾依曼給哥德爾寫了一封信。一方面，他對哥德爾定理的發表致以熱烈的祝賀（盛讚其為「長久以來最偉大的邏輯學發現」）；另一方面，馮·諾依曼在信中稱他從哥德爾定理出發，推導出了一個「重要」結論。他在信里附上了一個簡化版的證明，按照這個證明，如果哥德爾的不完備性定理成立，我們就永遠不可能證明任何自洽系統的自洽性。一時間，這封信令哥德爾寢食難安。哥德爾立刻寫了回信，並告訴馮·諾依曼他其實已經得出了這個結論。為了佐證自己的說法，哥德爾還隨信寄去了一份文稿的複印件，那是他在1930年9月寄給維也納科學院的一篇摘要。馮·諾依曼很快做出了回覆：「既然你已經建立了不可證明性定理，那麼我會放棄發表該結論。」
哥德爾一直在思考他的定理對數學和哲學的整體影響和意義。雖然他晚年悲觀地認為他一輩子只是在「證偽可能性」，但此時乃至此後很長一段時間內，哥德爾都為他發現的驚人結論感到歡欣鼓舞。他認為，這個結果表明數學理論是「無法窮盡的」：人類的頭腦總是可以發現新的數學真理。如果一個形式系統無法推導出某個數學真理，那恰恰說明人類的直覺是任何機器都無法模擬和複製的。就哥德爾而言，他並不認為自己的發現「顛覆」了希爾伯特理論，它僅僅意味着我們需要更努力地運用人類的智慧，在現有的基礎上探索出新的道路，去發現那些亟待發現的真相。
1933年1月，阿道夫·希特勒在德國上台後，門格爾幫哥德爾獲取了一個普林斯頓高等研究院的職位。「一份為期一年的合約，年薪在2 500美元上下……原則上他不需要授課，但如果他有講課或組織研討會的需要，也完全不用擔心，這裡有很多願意捧場的大學生……這個職位可以讓哥德爾先生享受一年的自由時間，他可以在宜人的環境裡盡情開展自己的研究工作。」
一年後，哥德爾依然選擇回到維也納。回到維也納的哥德爾發現城裡到處充滿了暴力和焦躁。1934年5—7月，幾乎每天都會發生爆炸和槍擊事件，納粹攻擊的目標包括政府官員、政府辦公大樓、發電站、供水設施，還有對奧地利經濟至關重要的旅遊勝地。
從美國回來後，1934年6月，哥德爾在門格爾討論小組的研討會上報告了一篇論文，主要內容是將不完備性定理擴展到更高階的邏輯系統內，這不僅使得某些在低階邏輯系統內的不可判定命題變得可證，還大大簡化了一些在低階邏輯系統內得證命題的證明過程。哥德爾的這篇論文對後來出現的計算機科學有着重要意義，它被用於縮減計算機程序的長度，也就是解決「加速」問題。
回到維也納的哥德爾出現了嚴重精神障礙的疑似症狀——體重下降和失眠。1934年10月哥德爾在療養院裡住了8天。從哥德爾後來向埃里克醫生主訴的種種情況看，如果放在今天，他很有可能會被診斷為強迫型人格障礙：有極端完美主義的傾向；對細枝末節過分關注以致影響了執行力；強迫性地列表格、做筆記和遵守規則；做事死板，畏手畏腳；堅持認為自己的強迫症行為是合理的，甚至樂在其中。哥德爾還有一定程度的偏執型人格障礙：他曾經懷疑有人要害他，偷偷給他吃他不想吃的藥；他變得異常自我封閉，懷疑同事想暗算他或毀掉他的生活。
1936年1月下旬，哥德爾在家人的堅決要求下住進了位於雷卡溫庫的療養院，他此後往來於雷卡溫庫和普克斯多夫之間，療養時間為4個月。
住在療養院裡的哥德爾經歷了人生中最黑暗的一段時光。他感覺自己可能命不久矣，而1935年秋跟維布倫提過的重要研究可能會因此胎死腹中，每每想到這裡，哥德爾都痛苦萬分。他當時正在研究兩個十分關鍵但又充滿爭議的集合論公理——選擇公理和連續統假設，而且已經有了大致的方法可以證明這兩個公理與其他基礎公理之間並不相互矛盾。約翰·馮·諾依曼後來告訴摩根斯特恩，因為他頻繁地往來於美國和歐洲，有一次他趁機去療養院探望了哥德爾，當時哥德爾的情況很糟。
療養結束後，哥德爾堅信在普克斯多夫療養院和雷卡溫庫療養院的經歷對他造成了永久性傷害。此後，擔心有人偷偷下藥毒害他成了他腦中揮之不去的念頭，有時候這種疑心病的徹底爆發還會導致他產生幻覺。20世紀70年代，哥德爾經歷了一次嚴重的被害妄想症發作，他聲稱在那兩家療養院裡曾被施用過一種強心劑——毒毛旋花苷，療養院的人偷偷把藥下在他的飯菜里，或晚上偷偷給他注射；而眼下他覺得有人在晚上撬開了他的房門，溜進來給他注射了他不需要的藥物。
雖然哥德爾對療養院有諸多控訴，但他在普克斯多夫被迫接受激進療法的可能性並非不存在，而且情況有可能比他描述的更糟糕。曾經有一種相當可怕但幾乎沒什麼用的療法，即所謂的「胰島素休克療法」，它的發明者是曼弗雷德·塞克爾醫生，哥德爾住進普克斯多夫療養院的時候正值塞克爾醫生在那裡行醫。胰島素休克療法是電休克療法的前身，通過反覆給患者注射胰島素，使其陷入由低血糖引起的昏迷。這種治療方式的副作用很多，包括極度的躁動、嚴重的驚厥，甚至有可能造成永久性腦損傷和死亡。雖然沒有證據顯示哥德爾遭受了這種酷刑式的療法，但他一直聲稱療養院的「毒毛旋花苷」對他的大腦造成了不可逆的損傷。
1937年，哥德爾認識的每個人都在拚命地尋找出路，他們願意為了一份糊口的工作去任何地方，除了自己的祖國。哥德爾本人卻對自己的未來猶豫不決，生活也陷入了停滯狀態。1938年2月21日，弗萊克斯納再次給哥德爾寫信，「以莫大的榮幸」邀請他1939年重返普林斯頓，無論是在第一個學期還是第二個學期入職都行，薪金為2 500美元，而且不限制他的日程，中途他隨時可以去諾特丹大學。三個星期後，維也納淪為一座地獄之城。
4月22日，政府下令暫時凍結所有大學講師的授課資質，第二天，哥德爾收到了代理校長維克多·克里斯蒂安的信件，被告知了這個政府決議。即使是那些沒有被徹底剝奪教學資格的人，也需要重新申請「新秩序講師資格」才有機會回到講台上。這下子，哥德爾就連「名義上的工作」也沒有了。當年10月，哥德爾再次回到普林斯頓。
重回普林斯頓後，哥德爾鉚足了勁兒，在高等研究院的新院區重新開啟了他的學術生涯。他又開始給學生授課，不過同往常一樣，學生們又走得七七八八，到了期末他的課上已經不剩幾個人了；耶魯大學邀請他去做演講，主題是關於直覺主義邏輯學；他最重要的工作是，給證明連續統假設自洽性的研究收尾。關於連續統假設的證明是哥德爾在數學上最重要的貢獻之一，與他的不完備性定理不相伯仲，它不僅構成了集合論和無窮概念的理論根基，也代表了哥德爾對數學真理和事實的哲學認識。
哥德爾的證明工作讓數學家在解決這個問題的道路上邁進了一大步，這也是他人生中第三次成功解決著名的希爾伯特難題。哥德爾證明了在集合論的基本公理框架內，康托爾的連續統假設不會引起矛盾，所以它在現有理論中至少是自洽的；換言之，現有的公理系統無法推導出與連續統假設相悖的結論。除了連續統假設以外，哥德爾還證明了選擇公理也有同樣的性質，選擇公理是另一個關乎集合論根基的問題。哥德爾關於連續統和選擇公理的研究表明，此後數學家可以根據需要，把其中一個甚至是兩個同時納入集合論的自洽公理系統，而無須擔心在此基礎上推導出的結論會在該公理系統內引起衝突或矛盾。
1948年哥德爾通過美國公民資格的面試審查，取得美國國籍。同時，普林斯頓高等研究院的正式任命也終於下來了，終身教職外加50%的漲薪，使他的年薪達到了6 000美元。毫無意外，促成這項任命的最大功臣是馮·諾依曼。
1951年年初，美國數學學會決定授予哥德爾一項殊榮，邀請他作為約西亞·威拉德·吉布斯論壇的主講嘉賓，哥德爾將成為第一個在吉布斯論壇上發表演講的邏輯學家。這是哥德爾人生中的最後一次公開演講，他用最清晰有力的措辭闡釋了對柏拉圖主義、數學的性質和什麼是數學真理的看法。
在吉布斯論壇的演講中，哥德爾提出了幾個強硬的主張，堅決地駁斥了數學只是人類發明的一種工具的說法。他的第一個理由是，創造者在數學領域裡的創造活動「並沒有那麼自由，與其他人類創造活動的隨心所欲程度相去甚遠」，因為數學領域的創造物一經產生就會有自己的生命，它們不會對創造者百依百順，甚至會反客為主，去為難和操控它們的創造者。
隨後，他用驚人的方式把數學性質的哲學內涵同不完備性定理聯繫起來。哥德爾關於不完備性定理的兩篇論文（分別對應兩個不完備性定理）都旨在論證，單個明確定義的公理系統永遠無法通過有窮步的推理涵蓋數學的所有內容。哥德爾指出，我們由此得到了一道有趣的二選一的選擇題：要麼是人類的大腦非常特別，雖然有些數學公理永遠不可能被簡化成有窮步的推理過程，人腦卻能輕易地感知到它們的存在，這意味着人類的頭腦「無限優越於只能進行有窮步計算的機器」；要麼是存在這樣一類問題，它們不只在某個特定的形式系統內不可判定，而是在任何形式系統內都不可判定，是「絕對」的不可判定命題。
哥德爾評論說，無論答案是哪一個，都「顯然與唯物主義哲學背道而馳」。如果答案是人腦優於機器，我們就不能把數百億個神經元通過互相協作產生的生理機能等同於人類思維，因為神經元的數量再多也終歸是有限的，如此一來，我們就不得不藉助人類靈魂的概念了；而如果人腦只是一台計算機器，它就逃不出不完備性定理劃定的邊界，我們也不得不接受一個痛苦的事實，即至少存在一些與算術有關的事實，它們超出了人腦的感知和理解範圍。哥德爾由此得出結論：「這似乎表明，數學研究的對象和事實（至少是其中某些事實）是客觀存在的，它們獨立於人類的精神活動和思維決策，也就是說，數學的研究對象多少有些柏拉圖主義或『現實主義』的意味。」
哥德爾承認，由於「我們這個時代的哲學火候尚欠」，這樣的觀點無法通過像數學理論那樣嚴密的方式加以論證。不過哥德爾也提出，數學基礎理論的發展，尤其是他的不完備性定理，至少成為對上述結論強有力的支撐，並且足以駁斥「數學完全是一種人為發明的句法系統及其衍生物」的觀點。
雖然世界局勢風雲變幻，哥德爾的身體狀況也一直沒有起色，這些讓他每天憂心忡忡，與此同時，哥德爾的疑病症有所惡化。疑病症的發作原因至今仍不甚明確，但像強迫症這類焦慮症狀一樣，病情的加重未必與特定的外部事件有關，更多的是因為當事人走進了自我暗示和自我設障的邏輯死胡同。哥德爾過分執着於在日常瑣事裡尋找隱藏的原因，他也堅信在數學領域裡存在絕對的真理，而對於自己的病情，哥德爾卻極度不相信基於經驗主義的醫學證據。雖然不能篤定地說這就是因和果，但你很難忽略這些特質之間可能存在的某種關聯。無法容忍不確定性是絕大多數疑病症患者的突出特徵，它讓患者傾向於把無害的軀體症狀當成是嚴重疾病的徵兆：焦慮的心情催生尋求安心的舉動，求而不得的結果只會產生反效果，進一步加劇患者的焦慮和恐懼，如此惡性循環。
對哥德爾來說，比疑病症更嚴重的問題在於，他的自我診斷逐漸演變成了自我實現的預言。哥德爾開始給自己開亂七八糟的藥，比如瀉藥、抗生素等，但這些藥往往加劇甚至引發了他所擔心的疾病，畢竟濫用藥物絕對弊大於利。他收集處方藥和非處方藥，然後按照自己的理解服用：用健樂仙搭配碳酸鹽藥片治療消化不良（他設了鬧鐘，時間一到就服下一劑）；用顛茄治療腸易激綜合徵；體溫升高不到一度，他就會服用青黴素、金黴素或土黴素。他每天還會吞下藥箱裡的所有瀉藥：鎂乳、乳糖醇、美達施、通利妥、番瀉苷，以及一種號稱有奇效、名為「庫雷拉」的專利藥物。
1955年4月，愛因斯坦的去世觸動了哥德爾的神經，他一直以來都極力逃避和拒絕接受熟人死亡事件。愛因斯坦和哥德爾對死亡的看法也截然相反。兩年後馮·諾依曼的去世對哥德爾來說更加難以面對。
哥德爾第一次在公眾面前嶄露頭角是在1956年，他在科普雜誌《科學美國人》上發表了一篇用通俗的語言解釋何為不完備性定理的文章，後來市面上出現了一本篇幅不長的書——《哥德爾的證明》，這本書名平平無奇的書大獲成功，成了被讀者追捧的數學讀物。1963年，《時代生活叢書》的數學卷用幾頁紙的篇幅專門介紹了哥德爾，其中還包括一張由著名攝影師阿爾弗雷德·艾森斯塔特給他拍攝的肖像照，占了整整一頁。這本書的出版給哥德爾帶來了更多的大眾關注度。
1970年春，普林斯頓大學的學生和教師為了抗議美國把戰爭擴大到柬埔寨境內，宣布罷課4天。在那個艱難的春天，長期遭受慢性焦慮和疑病症折磨的哥德爾又患上了偏執型妄想症。他幻想有一個黑色幽靈闖進了他的房間，強行給他注射藥物，而他的哥哥魯迪就是幕後黑手。1974年4月，突然發作的尿道堵塞嚴重影響了哥德爾的身心健康。他的精神狀態也時好時壞，總是在陷入低迷的偏執型妄想症後又緊接着經歷一段精神高漲的頭腦清醒期，如此反反覆覆。到了1976年，他的精神狀況已經差到極點，只在阿黛爾的強烈要求下才於1977年2月重新回到埃里克醫生的診所就診。這次他的妄想症更嚴重了，比如，他堅持認為納粹黨想給他扣上一頂精神失常的帽子；國稅局因為他沒能依法繳納與其工資相當的社會保障費而在追查他；高等研究院將不再給他發放退休金；由於當初曾向納粹政府承諾會如期返回奧地利而最後未能兌現，哥德爾認為他害得哥哥一直被關押在集中營里；他覺得在美國自我感覺良好是自欺欺人，其實美國人都討厭他；他是個惡劣的人；給他治病的醫生都是騙子；他那篇關於卡爾納普的文章放在辦公桌上，還沒來得及完成就被惡靈偷走了；好友亞布拉罕·瓦爾德並沒有在航空事故里喪生，他活了下來並隱姓埋名地在蘇聯生活。12月29日，阿黛爾終於說服哥德爾住進了普林斯頓醫院。1978年1月14日，哥德爾在醫院去世，死前他蜷縮在病床上，就像一個安靜的胎兒。在他人生的最後幾個星期，哥德爾一直拒絕進食。在醫院出具的死亡證明上，他的死因是「由人格障礙導致的營養不良和體弱無力」。
哥德爾雖然去世了，但他的名氣卻越來越大。1979年，美國作家侯世達的曠世奇書《哥德爾、艾舍爾、巴赫：集異璧之大成》登上暢銷書榜，把哥德爾的名望推上了新的高峰。侯世達在書中以哥德爾的證明工作為引子，探討了藝術、音樂和思想領域中的自我指涉形式。不過，這本書並沒有在哥德爾身上花多少筆墨。嚴謹的數學證明並非哥德爾在世俗文化里占有一席之地的原因，真正對公眾產生無窮吸引力的是不完備性定理的衍生觀念：這個世界上存在無法被證明的真理。哥德爾的人氣高漲，美國數學家、作家喬丹·艾倫伯格評價他是「浪漫主義者最喜愛的數學家」。在後現代主義反對者艾倫·索卡爾和讓·布里克蒙看來，同海森堡的不確定性原理和愛因斯坦的廣義相對論一樣，哥德爾的不完備性定理「成了知識濫用的不竭源泉」。
無論對數學還是哲學而言，不完備性定理一直都是令人頭疼的問題，但與當初的設想不同，許多時候它帶來的麻煩微妙且有趣。與哥德爾同時代的人認為不完備性定理簡直是數學界的「大災難」，而隨着時間的推移，數學家對它的恐懼正在逐漸消減。高等研究院的艾維·威格森是哥德爾衣缽的繼承者之一，他曾說「數學還是一如既往地欣欣向榮」。威格森指出，雖然哥德爾證明了數學領域的某些重要命題（比如連續統假設）的真偽性在特定的形式系統內是不可判定的，但關於「是否存在某些有趣的數學事實，它們在任何情況下都是不可知的」這個問題，卻始終沒有明確的答案。
相比激勵數學家尋找不完備性定理的實例，哥德爾不完備性定理最實際的意義在於，它就像一塊提醒數學家的指路牌：如果沒有特殊理由，就不需要沿着這條曾被前人看好的死路繼續走下去。
類似的情況也發生在哲學界，「世界上存在着超出人類理解能力的真理」的說法曾讓哲學家驚懼和氣餒，但時過境遷，今天的哲學界已不像當初那麼驚慌失措了。按照哲學家羅伯特·福格林的說法（當然這是戲謔的調侃），對人類認知極限持懷疑態度的人分為兩個派別，其區別只在於他們有多在意這個事實，一個是東海岸懷疑論學派，另一個是西海岸懷疑論學派。「東海岸學派承認他們的知識是有限的並深受其擾，」福格林說，「西海岸學派則正相反，他們並不為此煩惱。」
哥德爾堅信他的證明恰恰說明人類的創造力是非比尋常的。他一貫的主張是，人類總能通過直覺認識到一些真理，人類認知的自洽性無須證明，哪怕最先進的計算機也難以企及。如果哥德爾的定理及由這些定理推導出的結論是正確的，就意味着能夠完美複製人腦推理、學習、計劃和解決問題能力的計算機將淪為無源之水，永遠不可能被製造出來。在知識鞭長莫及的認知極限之外，確定性成了虛無縹緲的空談，哥德爾深知，只有人類的精神不可替代，並且獨一無二。
傑拉德·薩克斯曾對哥德爾做出了精闢的評價：「他讓數學變得更有趣。」雖然「他的哲學思想相當復古」，但他從未懷疑過這一點：只要是人腦能提出的問題，它就能夠得到解決。 [1]