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弧长

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名称:弧长

定义:在圆上过2点的一段弧的长度叫做弧长

曲线的弧长也称曲线的长度,是曲线的特征之一。不是所有的曲线都能定义长度,能够定义长度的曲线称为可求长曲线。

最早研究的曲线弧长是圆弧的长度,所以狭义上,特指圆弧的长度。

半径为R的圆中,n°的圆心角所对圆弧的弧长为nπR/180°,[1]

基本概念

在研究曲线时,我们总引进弧长作为参数,一方面是由于曲线的一般参数 t 不具有任何几何意义,另一方面,因为弧长是曲线的刚体运动不变量,用弧长作参数,可大大简化公式,并较容易导出其他不变量。

为连续曲线(如图1)。它的端点分别为A,B,在A,B之间任取n-1个点:P1,P2,…Pn-1。为方便计,把A写成P0,把B写成Pn。它们将Γ分成n段。设各点对应的参数依次为a=t0,t1,t2,…,tn-1,tn=b。用直线段连结相邻的点,得到一折线形,它的长:

当分点无限增加时,若σn趋于一个与分点的选择无关的确定极限,则称此极限为曲线段AB的弧长。

曲线 类曲线(k≥1)都有长度。曲线Γ在[t0,t]之间的长度可用公式:

表示。弧长称为曲线的自然参数

在取自然参数时,曲线的方程:

,则t可视为曲线从某点量起的弧长参数。

弧长的计算

下面我们用微分元素法计算曲线的长度。

设平面曲线C的参数表示为

,这样的称为光滑曲线,如图2.

显然这时曲线的长度L对于区间 相应的弧长

故由微分元素法可知曲线总长为

同样,对于空间光滑曲线

曲线总长为

若平面光滑曲线C被表达成了直角坐标形式

则C也有参数表示

故由公式(1)可知这时

例1 证明:圆 。

证明: 由对称性可知所求周长是第一象限部分长度的4倍,在第一象限中圆的参数方程是

故由公式(1)得圆的周长

扇形的弧长与计算公式

半径为R的圆中,n°的圆心角所对弧长的计算公式为

参考来源

扇形面积公式,弧长公式图片

参考资料

  1. 弧长怎么算,360问答 , 2017年11月25日