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| 微分形式 |
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微分形式(differential form)是多变量微积分，微分拓扑和张量分析领域的一个数学概念。现代意义上的微分形式，及其以楔积和外微分结构形成外代数的想法，都是由著名法国数学家埃里·卡当(Elie Cartan)引入的。
微分流形M上外形式丛的一个光滑截面.设ω:M→Λ(TM*)，若对于外形式丛的丛射影π，满足π°ω=id，则称ω为M上的微分形式.
简介
微分形式的一个优点就是能做外微分 运算。 比如ω=α(x_1,...x_n)dx_{i1}∧dx_{i2}∧...dx_{ir}是一个r次微分形式， 那么dω=dα∧dx_{i1}∧dx_{i2}∧...dx_{ir}. 这就把一个r次微分形式映到了r+1次微分形式。换言之，
我们有映射d: A^r(T^*)→A^{r+1}(T^*). 这个映射称为外微分。
易知两次外微分的复合等于零， 即dd=0，即poincare(庞加莱)引理. 一个微分形式ω如果满足dω=0, 我们就称其为闭形式。 如果存在另一微分形式γ, 使得ω=dγ， 我们就称其为恰当形式。 利用dd=0这一条件，我们就得到所谓的DeRham复形， 由这个复形，就导出了所谓的DeRham上同调， 它就是闭形式生成的向量空间商掉恰当形式以后得到的商空间。
楔积法则:d(x∧y)=dx∧y+(-1)^(degx)*x∧dy.
此外， 外微分运算还满足牛顿-莱布尼兹公式， 即对区域边界某外微分的积分等于对区域内该外微分的微分的积分。是高斯公式，斯托克斯公式的概括和总结，是单变量微积分中牛顿-莱布尼兹公式在多变量中的推广。
评价
利用外微分和积分运算， 我们可以得到著名的斯托克斯定理。 它是说一个恰当形式ω=dγ在定义域M上的积分，就等于γ在M的边界上的积分。这个定理有很多特殊情况， 都是经典微积分理论中的重要公式， 比如牛顿莱布尼兹公式， 高斯公式， 格林公式 等等。
斯托克斯定理表明， 外微分算子d和拓扑图形的边缘算子是相伴的。 这暗示了微分分析和拓扑学之间的微妙联系。[1]