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态射

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中文名: 态射 外文名: morphism 数学定义: 两数学结构保持结构的过程的抽象 特 点: 态射不必是函数 应用学科: 数学 所属领域: 范畴论

态射（morphism）是两个数学结构之间保持结构的一种过程抽象。

定义

一个范畴C由两个类给定：一个对象的类和一个态射的类。

有两个操作定义在每个态射上，域（domain，或源）和陪域（codomain，或目标）。

态射经常用从域到他们的陪域的箭头来表示，例如若一个态射f域为X而陪域为Y，它记为f:X→Y。所有从X到Y的态射的集合记为homC(X,Y)或者hom(X,Y)。（有些作者采用MorC(X,Y)或Mor(X,Y)）。

对于任意三个对象X，Y，Z，存在一个二元运算hom(X,Y)×hom(Y,Z) → hom(X,Z)称为复合。f:X→Y和g:Y→Z的复合记为

或gf（有些作者采用fg）。态射的复合经常采用交换图表来表示。例如

态射必须满足两条公理：

（1）存在单位态射：对于每个对象X，存在一个态射idX:X→X称为X上的单位 态射，使得对于每个态射f:A→B我们有。

（2）满足结合律：

在任何操作有定义的时候。

当C是一个具体范畴的时候，复合只是通常的函数复合，单位态射只是恒等函数，而结合律是自动满足的。（函数复合是结合的。）

注意域和陪域本身是决定态射的信息的一部分。例如，在集合的范畴，其中态射是函数，两个函数可以作为有序对的集合相等，但却有不同的陪域。这些函数从范畴论的目的来说被视为不同。因此，很多作者要求态射类hom(X,Y)是不交的。实际上，这不是一个问题，因为如果他们不是不交的，域和陪域可以加到态射上，（例如，作为一个有序三元组的第二和第三个分量），使得它们不交（互斥，disjoint）。

对态射和它们定义于其间的结构(或对象)的抽象研究构成了范畴论的一部分。在范畴论中，态射不必是函数，而通常被视为两个对象(不必是集合 )间的箭头。不象映射一个集合的元素到另外一个集合，它们只是表示域(domain)和陪域(codomain)间的某种关系。

尽管态射的本质是抽象的，多数人关于它们的直观(事实上包括大部分术语)来自于具体范畴的例子，在那里对象就是有附加结构的集合而态射就是保持这种结构的函数。

态射的类型

（1）同构

（isomorphism）:令f:X→Y为一个态射。若存在态射g:Y→X使得成立，则f称为一个同构。g称为f的逆态射，逆态射g如果存在就是唯一的，而且显而易见g也是一个同构，其逆为f。两个对象之间有一个同构，那么这两个对象称为同构的或者等价的。同构是范畴论中态射的最重要种类。

（2）满态射

（epimorphism）：一个态射f:X→Y称为一个满同态，如果对于所有Y→Z的态射g1，

成立。这也称为epi或epic.具体范畴中的满同态通常是满射（surjective）函数，虽然并不总是这样。

（3）单态射（monomorphism）：态射f:X→Y称为单同态，如果对于所有Z→X的态射g1，g2，

成立。它也称为mono或者monic.具体范畴中的单同态通常为单射（injective）函数。

（4）双同态（bimorphism）：若f既是满同态也是单同态，则称f为双同态（bimorphism）。

注意每个同构都是双同态，但不是每个双同态都是同构。例如，交换环的范畴中，包含映射Z → Q是一个双同态，但不是一个同构。如果在一个范畴中每个双同态都是同构，则这个范畴称为一个平衡范畴。例如，集合是一个平衡范畴。

（5）自同态（endomorphism）：任何态射f:X→X称为X上的一个自同态。

（6）自同构（automorphism）：若一个自同态也是同构的，那么称之为自同构。

（7）若f:X→Y和g:Y→X满足 :X→X是幂等的。这种情况下，f和g称为分割（split）.f称为g的收缩（retraction）而g称为f的截面。任何既是满同态又是分割单同态的态射，或者既是单同态又是分割满同态的态射必须是同构。

例子

最常见的这种过程的例子是在某种意义上保持结构的函数或映射。

在集合论中，态射就是函数。

在泛代数中研究的具体范畴（例如群，环，模，等等），态射称为同态。术语同构，满同态，单同态，自同态，和自同构也都适用于这个特殊范围。

在拓扑空间范畴，态射是连续函数，而同构称为同胚。

在光滑流形范畴中，态射是光滑函数而同构称为微分同胚。

函子可以视为小范畴的范畴中的态射。

在函子范畴中，态射是自然变换。

态射(morphism)是一个数学对象A到另一个数学对象B的map关系。同态(homomorphism)是一个态射，表示一个数学结构A到另一个数学结构B的map关系，并且维持了数学结构上的的每一种操作*。例如：指数函数这个例子也说明同样的操作符号在不同的数学结构中的定义可以不同。