* 方复全教授先后在顶尖数学杂志Acta Math., Invent. Math以及Duke Math. J, GAFA, Topology等权威数学杂志上发表论文四十多篇。有关成果被法国科学院院士、沃尔夫奖、阿贝尔奖得主Gromov的名著引用，被法国科学院通讯院士Berger写入综述报告《二十世纪后半叶的黎曼几何》，也是合作者在2002年国际数学家大会上45分钟报告的主要内容之一。主要代表性成果有：

* 曲率与拓扑

1.正曲率流形<br>

这是黎曼几何中核心课题之一。1981年，哈密尔顿发明Ricci流证明：三维正曲率流形同胚于球空间型。在4维及以上，人们对其拓扑型理解甚少，分类更无从谈起。

方复全-戎小春合作，得到了上述有限性定理的奇数维版本*，证明了“奇数维、正曲率一致夹、π2有限的单连通流形最多只有有限多个微分同胚型”以及“π2有限、正曲率一致夹流形的非坍塌定理”，从而部分解决了著名的克林根伯格-Sakai的猜想、部分回答了丘成桐公开问题集中的问题11和13。<br>

在美国科学院院士Cheeger主编的《微分几何综述》中，将这一定理总结为自19世纪以来正曲率流形的九个主要结构定理之一。著名几何学家Grove撰写的、Gromov名著的书评中评述其为“Cheeger定理的remarkable analogue”并着重转述了定理内容(发表于美国数学会公报上)。日本科学院院士Fukaya发表于《几何手册》的综述报告将其列为第十三节的两个开篇定理。<br>

2.曲率有界、直径有界流形<br>

Gromov的一个基本定理断言：在任何维数，曲率有界、直径有界的黎曼流形的贝蒂数之和一致有界。1990年，Grove提出一个公开问题：是否上述流形的上同调环同构类个数也一致有界？应用有理同伦论方法，方复全-戎小春给出了该问题的第一个反例。<br>

该成果激发了包括国际数学家大会特邀报告人Totaro、瑞士数学会理事长Dessai等知名专家的后续工作，被欧美数学家写入牛津大学研究生教材，作为其中第六章的主题之一，小节标题为方-戎方法，约七页篇幅重述这一工作，还被他人列为德国著名黑森林研究所学术会议专题讨论。<br>

独立或与人合作，方在这一课题的成果分别被获得美国数学会Steele奖的Lazarsfeld名著、牛津数学专著“Sasakian几何”引用，两个定理被后者全文转载，其中之一被称为“相当有趣和显然rather deep”。韩国数学家Kim在一篇论文的引言中指出“近来…出色进展主要归功于...Fang...”。最近，方复全教授与人合作，在Acta Math.发表了一篇53页的论文，在正曲率Polar流形分类方面取得重要突破，并因此获邀在2014年国际数学家大会上做45分钟报告。<br>

几何大家Gromov引入了几乎平坦流形这一重要几何对象。丘成桐微分几何公开问题集第十个问题：“是否几乎平坦流形的斯蒂夫-惠特尼数为零”？1998年，张伟平院士向方复全教授指出了这一问题。经过十几年的努力，方复全与人合作，在一类情形解决了这个问题，论文发表于权威杂志Journal of Differential Geometry，审稿报告评价“这是该拓扑问题三十年来最重要的（the most important）结果”。<br>

4维流形（时空）是拓扑中基本的研究对象，它与其他维数拓扑有巨大差异，许多基本的拓扑工具在4维失效。<br>

光滑情形：1963年，吴文俊和Haefliger-Hirsch独立解决了n维（n>4）光滑流形到R2n-1的光滑嵌入问题。1970年，Boechat-Haefliger证明：定向光滑4流形M可嵌入到R7与其相交型I(M)有关，但其证明相当复杂。同年，嵌入理论的领军人物Haefliger在国际拓扑会议上公开提出：“是否w3(M)=0、不可定向的4维光滑流形可光滑嵌入到R7”。在发表于1994年权威杂志Topology的论文中，方复全完全解决了Haefliger公开问题，还给出Boechat-Haefliger定理极为简单的新证明。并首次指出，由菲尔兹奖得主唐纳森的代表作和Boechat-Haefliger定理可以看出：“任何定向光滑4维流形可光滑嵌入到R7”。著名拓扑学家姜伯驹院士在推荐书中称该工作“为Haefliger-Hirsch、吴文俊等人工作后遗留30多年未决的重要问题画上句号”。在德国Hausdorff研究所创始所长、Oberwolfach研究所前所长、著名拓扑学家Kreck等人文章中明确肯定了方复全对四维定向以及非定向光滑流形嵌入问题最终解决的贡献。

非光滑情形：1995年，美国科学院院士Kirby在其著名的低维拓扑问题集（更新版）中指出：4维拓扑流形情况尚未解决。基于方复全的上述工作，2002年，方复全在Topology再次撰文，肯定地解决了Kirby的问题。

此外,方还研究了3流形到某些4维流形中的嵌入问题，发现了它与4流形上怪异微分结构之间的联系，成果被写入Gompf等人写入美国数学会研究生教材。

物理学家Seiberg-Witten从物理上引进的Seiberg-Witten理论为四维拓扑提供了强大的武器。通过发展Seiberg-Witten理论的K-理论解释，方复全证明了Seiberg-Witten不变量的模p消灭定理，被他人的多篇后续文章中完整重述为其中的定理，并作为必备的工具。被Furuta在国际数学家大会45分钟报告中引用。<br>

基于Ricci流，佩尔曼证明了3维庞加莱猜想。一个自然的问题是：可否用Ricci流研究4维拓扑？与学生合作，方复全首次发现很多4维流形上Ricci流不存在任何非奇异解，证明了“若4维流形M上Ricci流非奇解存在，则M的欧拉示性数χ(M)≥0”。更进一步，若M的Yamabe不变量非正，则χ(M)≥3/2|τ(M)|,其中τ(M)为M的符号差，拓展了Hitchin（邵逸夫奖得主）关于爱因斯坦流形的著名不等式。在日本数学家Ishida等人的论文中，该不等式以及其中的猜想都被称命名为FZZ不等式和FZZ猜想，并作为节标题。<br>

* 完全交的拓扑