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流形（Manifold），是局部具有欧氏空间性质的空间。而实际上欧氏空间就是流形最简单的实例。像地球表面这样的球面是一个稍为复杂的例子。一般的流形可以通过把许多平直的片折弯并粘连而成。
简介
流形在数学中用于描述几何形体，它们提供了研究可微性的最自然的舞台。物理上，经典力学的相空间和构造广义相对论的时空模型的四维伪黎曼流形都是流形的实例。他们也用于位形空间（configurationspace)。环面(torus)就是双摆的位形空间。
如果把几何形体的拓扑结构看作是完全柔软的，因为所有变形(同胚)会保持拓扑结构不变，而把解析簇看作是硬的，因为整体的结构都是固定的(譬如一个1维多项式，如果你知道(0,1)区间的取值，则整个实属范围的值都是固定的,局部的扰动会导致全局的变化)，那么我们可以把光滑流形看作是介于两者之间的形体，其无穷小的结构是硬的，而整体结构是软的。这也许是中文译名流形的原因(整体的形态可以流动)，该译名由著名数学家和数学教育学家江泽涵引入。这样，流形的硬度使它能够容纳微分结构，而它的软度使得它可以作为很多需要独立的局部扰动的数学和物理上的模型。
流形可以视为近看起来象欧氏空间或其他相对简单的空间的物体。例如，人们曾经以为地球是平坦的，因为我们相对于地球很小，这是一个可以理解的假象。所以，一个理想的数学上的球在足够小的区域也象一个平面，这使它成为一个流形。但是球和平面有很不相同的整体结构:如果你在球面上沿一个固定方向走，你最终回到起点，而在一个平面上，你可以一直走下去。
一个曲面是二维的。但是，流形可以有任意维度。其他的例子有，一根线的圈(一维的)以及三维空间中的所有旋转(三维的)。旋转所组成的空间的例子表明流形可以是一个抽象空间。流形的技术使得我们能够独立的考虑这些对象，从某种意义上来讲，我们可以有一个不依赖于任何其他空间的球。
局部的简单性是一个很强的要求。例如，我们不能在球上吊一个线并把这个整体叫做一个流形；包含把线粘在球上的那一点的区域都不是简单的—既不是线也不是面—无论这个区域有多小。
我们用收集在地图集中的平的地图在地球上航行。类似的，我们可以用在数学图集中的数学地图(称为坐标图)来描述一个流形。通常不可能用一张图来描述整个流形，这是因为流形和建造它的模型所用的简单空间在全局结构上的差异。当使用多张图来覆盖流形的时候，我们必须注意它们重叠的区域，因为这些重叠包含了整体结构的信息。
有很多不同种类的流形。最简单的是拓扑流形，它们局部看来像欧氏空间。其他的变种包含了它们在使用中所需要的额外的结构。例如，一个微分流形不仅支持拓扑，而且要支持微积分。黎曼流形的思想导致了广义相对论的数学基础，使得人们能够用曲率来描述时空。
评价
第一个清楚地把曲线和曲面本身构想为空间的可能是高斯，他以他的theoremaegregium('高斯绝妙定理')建立了内在的微分几何。
黎曼是第一个广泛的展开真正需要把流形推广到高维的工作的人。流形的名字来自黎曼原来的德语术语Mannigfaltigkeit,WilliamKingdonClifford把它翻译为“manifoldness”（多层)。在他的格丁根就职演说中，黎曼表明一个属性可以取的所有值组成一个Mannigfaltigkeit。他根据值的变化连续与否对stetigeMannigfaltigkeit和离散[sic]Mannigfaltigkeit(连续流形和不连续流形)作了区分。作为stetigeMannigfaltikeiten的例子，他提到了物体颜色和在空间中的位置，以及一个空间形体的可能形状。他把一个nfachausgedehnteMannigfaltigkeit(n次扩展的或n-维流形)构造为一个连续的(n-1)fachausgedehnteMannigfaltigkeiten堆。黎曼直觉上的Mannigfaltigkeit概念发展为今天形式化的流形。黎曼流形和黎曼曲面以他的名字命名。
交换簇的概念在黎曼的时代已经被隐含的作为复流形使用。拉格朗日力学和哈密尔顿力学，从几何方面考虑，本质上也是流形理论。
庞加莱研究了三维流形，并提出一个问题，就是现在所谓的庞加莱猜想：所有闭简单连通的三维流形同胚于3维球吗？这个问题已被GrigoriPerelman解决。
HermannWeyl在1912年给出了微分流形的一个内在的定义。该课题的基础性方面在1930年代被HasslerWhitney等人运用从19世纪下半叶就开始发展的精确的直觉理清，并通过微分几何和李群理论得到了发展。[1]