漸開線

漸開線(evolent),又稱漸伸線或漸屈線; 數學、機械工程名詞; 與曲線所有切線相交成直角的曲線; (狹義)圓的漸開線; 基圓以內無漸開線，等漸伸線（involute）(或稱漸開線(evolvent))和漸屈線（evolute）是曲線的微分幾何上互為表裡的概念。

• 若曲線A是曲線B的漸伸線，曲線B是曲線A的漸屈線。
• 在曲線上選一定點S; 有一動點P由S出發沿曲線移動，選在P的切線上的Q，使得曲線長SP 和直線段長PQ 相同。
  • 漸伸線就是Q的軌跡。
• 若曲線B有參數方程{\displaystyle r:\mathbb {R} \to \mathbb {R} ^{n}}r:\mathbb R\to\mathbb R^n，其中{\displaystyle |r^{\prime }(s)|=1}|r^\prime(s)|=1，曲線A的方程為{\displaystyle t\mapsto r(t)-tr^{\prime }(t)}t\mapsto r(t)-tr^\prime(t)。
• 曲線的漸屈線是該曲線每點的曲率中心的集。
• 若該曲線有參數方程{\displaystyle r:\mathbb {R} \to \mathbb {R} ^{n}}r:\mathbb R\to\mathbb R^n（{\displaystyle |r^{\prime }(s)|=1}|r^\prime(s)|=1），則其漸屈線為{\displaystyle s\to r(s)+{r(s) \over |r(s)|^{2}}}s \to r(s)+{r(s)\over|r(s)|^2}。
• 平面上一動直線沿固定圓作純滾動時﹐此直線上任意點的軌跡為該圓的漸開線。
• 這一動直線BK 稱為發生線﹐固定圓O 1稱為基圓。
• K 的軌跡A 1K 為O 1的漸開線。
• 基圓越大﹐漸開線在相同壓力角ak的某點K處的曲率半徑也越大﹐如B 2K 大於B 1K 。
• 當基圓趨於無窮大時﹐BK 趨於無窮大﹐漸開線亦趨於直線AK 。
• 基圓內無漸開線。漸開線常用於齒輪輪齒的工作齒廓和花鍵工作齒廓。
• 與一條曲線C的所有切線相交成直角的曲線Γ，稱為曲線C的漸開線(evolent)。
• 一般的漸開線指「圓的漸開線」。
• 在平面上，一條動直線（發生線）沿著一個固定的圓（基圓）作滾動的過程中，此直線上任意一點的軌跡，稱為此基圓的一條漸開線。
• 與一條曲線C的所有切線相交成直角的曲線Γ，稱為曲線C的漸開線；原曲線C稱為(對它的任意漸開線) C1的漸屈線。同一條平面曲線(漸屈線)，有無限條漸開線。
• 任何兩條漸開線對應點的距離是常數。
• 若曲線A是曲線B的漸開線，曲線B是曲線A的漸屈線。
• 在曲線上只有一條漸屈線。
• 漸開線上任一點法向壓力的方向線與該點速度方向線所夾銳角稱為該點的壓力角。
• 一般的漸開線指「圓的漸開線」; 一條直線在一個圓上作無滑動的滾動時，直線上一定點運動的軌跡稱為「圓的漸開線」，而稱該圓為漸開線的「基圓」，直線為漸開線的「發生線」。
• 即若在圓周繞有無彈性的細繩，且保持這個圓固定不動，而將細繩拉緊並逐漸展開，讓該線繞圓軸運動且始終與圓軸相切，那麼線上一個定點在該平面上的軌跡就是漸開線。

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漸開線齒輪的運作

• 一位朋友參加一個公司機械工程師職位的面試，其中面試官問他一個問題：什麼是漸開線齒輪？
• 感覺很簡單，但又不知道該如何回答，大學時學過標準漸開線齒輪，依稀還記得標準漸開線齒輪齒數不能小於17，但什麼是漸開線齒輪卻又不知如何解釋。
• 這樣有基礎又容易忽視的問題很多人都不一定能講的清楚，今天我們就將漸開線齒輪跟大家講一講：
• 什麼是漸開線--漸開線是一個數學概念，定義為：將一個圓軸固定在一個平面上,軸上纏線,拉緊一個線頭,讓該線繞圓軸運動且始終與圓軸相切,那麼線上一個定點在該平面上的軌跡就是漸開線。
• 漸開線的畫法--已知圓的直徑D，畫漸開線的方法為：
  • (1)將圓周分成若干等分(圖中為12等分)，將周長πD作相同等分；
  • (2)過周長上各等分點作圓的切線；
  • (3)在第一條切線上，自切點起量取周長的一個等分（πD/12）得點1；在第二條切線上，自切點起量取周長的兩個等分（2xπD/12）得點2；依此類推得點3、4、……、12；
  • (4)用曲線板光滑連接點1、2、3、……、12。即得圓的漸開線。
• 漸開線的形狀僅取決於基圓的大小，基圓越小，漸開線越彎曲；基圓越大，漸開線越平直；基圓為無窮大時，漸開線為斜直線。
• 什麼是漸開線齒輪--齒輪的齒形由漸開線和過渡線組成時，就是漸開線齒輪，齒輪的齒廓就是漸開線。
• 機械上為了傳動平穩，齒輪的齒廓線大多採用漸開線。
• 漸開線齒輪的特點--漸開線齒輪的特點：方向不變,若齒輪傳遞的力矩恆定,則輪齒之間、軸與軸承之間壓力的大小和方向均不變。
• 即漸開線齒輪具有角速比不變的優點，漸開線齒形的接觸點上的正壓力方向始終與漸開線的基園相切。
• 這樣可以保證嚙合時傳動比的恆定。

漸開線齒輪特性優缺點分析

• 負載能力:
  • 1.齒與齒以凹面狀態接觸.
  • 2.滑動的變化大.
  • 3.負載極大.
• 運轉特性:
  • 1.等速傳動.
  • 2.安靜.
• 製造成本:
  • 1.齒數可互換咬合.
  • 2.刀具依模數來分類.
  • 3.法節相同,壓力角都是20°,符合成本.
• 組配運用:
  • 1.中心距可調整,裝配容易.
  • 2.工作精度要求較寬.
• 其它特性:
  • 由於加工技術進步可藉由熱處理及研磨技術提高精度.
• 由於漸開線齒輪傳動具有下述三個優點：
  • 1.傳動比恆定，使得運動平穩.
  • 2.齒廓受正壓力的方向恆定，使得受力平穩.
  • 3.安裝的實際中心距與理論中心距大小的較小變化時不影響傳動比，使得便於安裝與製造.
• 目前還沒有找到其它曲線的齒廓具有上述三個優點，所以漸開線齒廓的齒輪應用很普遍福一般是漸開線齒輪。
• 漸開線齒廓的齧合特性:
  • 1.漸開線齒廓能滿足定傳動比傳動的要求.
  • 2.齧合線為一條定直線—N1N2 .
  • 3.中心距變化不影響傳動比，即漸開線齒廓齧合具有可分性.
  • 4.齧合角 的大小恆等於節圓壓力角.
  • 5.兩齒廓齧合點為—共軛點 .
• 齒輪採用漸開線齒廓有哪些優缺點？
  • 1.能夠保證齒輪固定傳動比傳動.（主要原因）
  • 2.結構簡單，製造成本低.