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| 相交弦定理 |
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中文名称；相交弦定理 外文名称；Intersecting Chords Theorem 类别；定理 适用范围；数学，圆 |
相交弦定理（Intersecting Chords Theorem），数学术语，经过圆内一点引两条弦，各弦被这点所分成的两线段的积相等。[1]
说明
几何语言：
若圆内任意弦AB、弦CD交于点P
则PA·PB=PC·PD（相交弦定理）
相关定理
相交弦定理为圆幂定理之一，其他三条定理为：
切割线定理、割线定理、弦切角定理
证明
证明：连结AC，BD
由圆周角定理的推论，得∠A=∠D，∠C=∠B。
（圆周角推论2: 在同圆或等圆中，同(等)弧所对圆周角相等。）
∴△PAC∽△PDB
∴PA∶PD=PC∶PB，PA·PB=PC·PD
注：其逆定理可作为证明四边形是圆的内接四边形的方法. P点若选在圆内任意一点更具一般性。其逆定理也可用于证明四点共圆。
比较
相交弦定理、切割线定理及割线定理(切割线定理推论)以及他们的推论统称为圆幂定理。一般用于求线段长度。
当P点在圆内时称为相交弦定理，当P点在圆上时称为切割线定理，当P点在圆外时称为割线定理。三条定理统称为圆幂定理。其中|OP²-R²|称为P点对圆O的幂。（R为圆O的半径）
推论
如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它所分直径所成的两条线段的比例中项。
几何语言：
若AB是直径，CD垂直AB于点P，
则PC²=PA·PB（相交弦定理推论）
参考来源