高斯曲率

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高斯曲率是全国科学技术名词审定委员会审定、公布的科技术语。

历史名词是历史上曾出现的事件及事物的名称^[1]，例如“禅让”，传说古代实行举荐贤能之人为首领继承人的一种制度，据文献记献：有尧举舜、舜举禹^[2]、禹先举皋陶、皋陶死禹又举益等历史故事。

名词解释

微分几何中，曲面上一点的高斯曲率是该点主曲率κ1和κ2的乘积。它是曲率的内在度量，也即，它的值只依赖于曲面上的距离如何测量，而不是曲面如何嵌入到空间。这个结果是高斯绝妙定理的主要内容。

重要定理

1.绝妙定理

高斯的绝妙定理断言曲面的高斯曲率由曲面上长度的测量本身决定。事实上，它完全由第一基本形式决定并且可以用第一基本形式及其一阶和二阶偏导数表达。等价地，嵌入在

中的曲面的第二基本形式的行列式也可以这样表达。定理的"绝妙"之处在于，虽然

中的曲面S上的高斯曲率的定义明显依赖于曲面各点在空间中的定位，而高斯曲率本身只要曲面上的内在度量就可以决定，而与环境空间没有进一步的关联：它是一个内蕴不变量。精确地讲，高斯曲率在曲面的等度变换下保持不变。

在现代微分几何中，"曲面"抽象的看来是一个二维微分流形。将这个观点和曲面的经典理论联系起来的是将抽象曲面嵌入到R中，并用第一基本形式赋予黎曼度量。

2.高斯-博内定理

高斯-博内定理将曲面的总曲率和它的欧拉示性数联系起来，并且给出了一个局部几何性质和全局拓扑性质的重要关联。

常曲率曲面

1.Minding定理(1839年)断言所有具有相同常曲率

的曲面局域等度。Minding的一个结果是所有曲率为0的曲面可以通过弯曲平面区域来构造。这样的曲面称为可展曲面。Minding也提出了有常正曲率的闭曲面是否刚性的问题。

2.Liebmann定理(1900年)解决了Minding的问题。唯一常正曲率正则中的闭曲面是球面。