高斯过程查看源代码讨论查看历史
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在概率论[1] 和统计学中，高斯过程（Gaussian process）是观测值出现在一个连续域（例如时间或空间）的随机过程。在高斯过程中，连续输入空间中每个点都是与一个正态分布的随机变量相关联。此外，这些随机变量的每个有限集合都有一个多元正态分布，换句话说他们的任意有限线性组合是一个正态分布。高斯过程的分布是所有那些（無限多个）随机变量的联合分布，正因如此，它是连续域（例如时间或空间）上函数的分布。
高斯過程被認為是一種機器學習算法，是以惰性學習|lazy learning方式，利用點與點之間同質性的度量作為核函數|Kernel function，以從輸入的訓練數據預測未知點的值。其預測結果不僅包含該點的值，而同時包含不確定性的資料－它的一維高斯分佈（即該點的邊際分佈）。
對於某些核函數，可以使用矩陣代數（見克里金插值法|kriging條目）來計算預測值。若核函數有代數參數，則通常使用軟體以擬合高斯過程的模型。
由於高斯過程是基於高斯分佈（正態分佈）的概念，故其以卡爾•弗里德里希•高斯為名。可以把高斯過程看成多元正態分佈的無限維廣義延伸。
高斯過程常用於統計建模中，而使用高斯過程的模型可以得到高斯過程的屬性。举例来说，如果把一隨機過程用高斯過程建模，我们可以显示求出各種導出量的分布，这些导出量可以是例如隨機過程在一定範圍次數內的平均值，及使用小範圍採樣次數及採樣值進行平均值預測的誤差。
定義
一統計學分佈定義為{Xt, t∈T}是一个高斯过程，当且仅当对下标集合T的任意有限子集t1,...,tk，
X_{t_1, \ldots, t_k} = (X_{t_1}, \ldots, X_{t_k})
是一个多元正态分布，这等同于说(X_{t_1}, \ldots, X_{t_k})的任一线性组合是一单变量正態分佈。更準確地，取樣函數Xt 的任一線性泛函均會得出正態分佈。可以寫成X ~ GP(m,K)，即隨機函數X 以高斯過程（GP）方式分佈，且其平均數函數為m 及其協方差函數為K。當輸入向量t為二維或多維時，高斯過程亦可能被稱為高斯自由场（高斯場|Gaussian random field）。
有些人假設隨機變量 Xt 平均為0；其可以在不失一般性的前提下簡化運算，且高斯過程的均方屬性可完全由協方差函數K得出。
协方差函数
高斯過程的關鍵事實是它們可以完全由它們的二階統計量來定義.因此，如果高斯過程被假定為具有平均值零, defining 協方差函數完全定義了過程的行為。重要的是，這個函數的非負定性使得它的譜分解使用了 K-L轉換.
可以通過協方差函數定義的基本方面是過程的平穩過程, 各向同性, 光滑函數 和 週期函數。
平穩過程指的是過程的任何兩點x和x'的分離行為。如果過程是靜止的，取決於它們的分離x-x'，而如果非平穩則取決於x和x'的實際位置。例如，一個特例 Ornstein–Uhlenbeck process|Ornstein–Uhlenbeck 過程, 一個 布朗運動 過程，是固定的。
如果過程僅依賴於 |x-x'|，x和x'之間的歐幾里德距離（不是方向），那麼這個過程被認為是各向同性的。同時存在靜止和各向同性的過程被認為是 同質與異質;在實踐中，這些屬性反映了在給定觀察者位置的過程的行為中的差異（或者更確切地說，缺乏這些差異）。
最終高斯過程翻譯為功能先驗，這些先驗的平滑性可以由協方差函數引起。如果我們預期對於“接近”的輸入點x和x'，其相應的輸出點y和y'也是“接近”，則存在連續性的假設。如果我們希望允許顯著的位移，那麼我們可以選擇一個更粗糙的協方差函數。行為的極端例子是Ornstein-Uhlenbeck協方差函數和前者不可微分和後者無限可微的平方指數。 週期性是指在過程的行為中引發週期性模式。形式上，這是通過將輸入x映射到二維向量u(x) = (\cos(x), \sin(x)) 來實現的。
常見的协方差函數
一些常見的协方差函數:
- 常值： K_\operatorname{C}(x,x') = C
- 線性： K_\operatorname{L}(x,x') = x^T x'
- 高斯噪聲: K_\operatorname{GN}(x,x') = \sigma^2 \delta_{x,x'}
- 平方指數: K_\operatorname{SE}(x,x') = \exp \Big(-\frac{\|d\|^2}{2\ell^2} \Big)
- Ornstein–Uhlenbeck : K_\operatorname{OU}(x,x') = \exp \left(-\frac{|d|} \ell \right)
- Matérn: K_\operatorname{Matern}(x,x') = \frac{2^{1-\nu}}{\Gamma(\nu)} \Big(\frac{\sqrt{2\nu}|d|}{\ell} \Big)^\nu K_\nu \Big(\frac{\sqrt{2\nu}|d|}{\ell} \Big)
- 定期: K_\operatorname{P}(x,x') = \exp\left(-\frac{ 2\sin^2\left(\frac d 2 \right)}{\ell^2} \right)
- 有理二次方: K_\operatorname{RQ}(x,x') = (1+|d|^2)^{-\alpha}, \quad \alpha \geq 0