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九章算術

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《九章算術》是中國古代張蒼、耿壽昌所撰寫的一部數學專著。是《算經十書》中最重要的一部，成於公元一世紀左右。其作者已不可考。一般認為它是經歷代各家的增補修訂，而逐漸成為現今定本的，西漢的張蒼、耿壽昌曾經做過增補和整理，其時大體已成定本。最後成書最遲在東漢前期，現今流傳的大多是在三國時期魏元帝景元四年（263年），劉徽為《九章》所作的注本。

《九章算術》內容十分豐富，全書總結了戰國、秦、漢時期的數學成就。同時，《九章算術》在數學上還有其獨到的成就，不僅最早提到分數問題，也首先記錄了盈不足等問題，《方程》章還在世界數學史上首次闡述了負數及其加減運算法則。它是一本綜合性的歷史著作，是當時世界上最簡練有效的應用數學，它的出現標誌中國古代數學形成了完整的體系。

2020年4月，列入《教育部基礎教育課程教材發展中心 中小學生閱讀指導目錄（2020年版）》初中段

作品背景

《九章算術》是中國古代的數學專著，是「算經十書」（漢唐之間出現的十部古算書）中最重要的一種。魏晉時劉徽為《九章算術》作注時說:「周公制禮而有九數，九數之流則《九章》是矣」，又說「漢北平侯張蒼、大司農中丞耿壽昌皆以善算命世。蒼等因舊文之遺殘，各稱刪補，故校其目則與古或異，而所論多近語也」。根據研究，西漢的張蒼、耿壽昌曾經做過增補。最後成書最遲在東漢前期，但是其基本內容在西漢後期已經基本定型。

《漢書藝文志》（班固根據劉歆《七略》寫成者）中着錄的數學書僅有《許商算術》、《杜忠算術》兩種，並無《九章算術》，可見《九章算術》的出現要晚於《七略》。《後漢書馬援傳》載其侄孫馬續「博覽群書，善《九章算術》」，馬續是公元1世紀最後二、三十年時人。再根據《九章算術》中可供判定年代的官名、地名等來推斷，現傳本《九章算術》的成書年代大約是在公元1世紀的下半葉。九章算術將書中的所有數學問題分為九大類，是陳凱靖編輯的

1984年，在湖北出土了《算數書》書簡。據考證，它比《九章算術》要早一個半世紀以上，書中有些內容和《九章算術》非常相似，一些內容的文句也基本相同。有人推測兩書具有某些繼承關係，但也有不同的看法認為《九章算術》沒有直接受到《算數書》影響。

後世的數學家，大都是從《九章算術》開始學習和研究數學，許多人曾為它作過注釋。其中最著名的有劉徽（263）、李淳風（656）等人。劉、李等人的注釋和《九章算術》一起流傳至今。唐宋兩代，《九章算術》都由國家明令規定為教科書。到了北宋，《九章算術》還曾由政府進行過刊刻（1084），這是世界上最早的印刷本數學書。在現傳本《九章算術》中，最早的版本乃是上述北宋本的南宋翻刻本（1213），現藏於上海圖書館（孤本，殘，只余前五卷）。清代戴震由《永樂大典》中抄出《九章算術》全書，並作了校勘。此後的《四庫全書》本、武英殿聚珍本、孔繼涵刻的《算經十書》本（1773）等，大多數都是以戴校本為底本的。

作為一部世界數學名著，《九章算術》早在隋唐時期即已傳入朝鮮、日本。它已被譯成日、俄、德、法等多種文字版本。

主要內容

《九章算術》的內容十分豐富，全書採用問題集的形式，收有246個與生產、生活實踐有聯繫的應用問題，其中每道題有問（題目）、答（答案）、術（解題的步驟，但沒有證明），有的是一題一術，有的是多題一術或一題多術。這些問題依照性質和解法分別隸屬於方田、粟米、衰（cuī）分、少廣、商功、均輸、盈不足、方程及勾股。共九章如下所示。原作有插圖，今傳本已只剩下正文了。

《九章算術》共收有246個數學問題，分為九章。它們的主要內容分別是：

第一章「方田」： 主要講述了平面幾何圖形面積的計算方法。包括長方形、等腰三角形、直角梯形、等腰梯形、圓形、扇形、弓形、圓環這八種圖形面積的計算方法。另外還系統地講述了分數的四則運算法則，以及求分子分母最大公約數等方法。其中例題38個，立術21條。

第二章「粟米」：穀物糧食的按比例折換；提出比例算法，稱為今有術；衰分章提出比例分配法則，稱為衰分術；其中例題46個，立術33條。

第三章「衰分」：比例分配問題。其中例題20個，立術22條。

第四章「少廣」：已知面積、體積，反求其一邊長和徑長等；介紹了開平方、開立方的方法。其中例題24個，立術16條。

第五章「商功」：土石工程、體積計算；除給出了各種立體體積公式外，還有工程分配方法；其中例題28個，立術24條。

第六章「均輸」：合理攤派賦稅；用衰分術解決賦役的合理負擔問題。今有術、衰分術及其應用方法，構成了包括今天正、反比例、比例分配、複比例、連鎖比例在內的整套比例理論。西方直到15世紀末以後才形成類似的全套方法。其中例題28個，立術28條。

第七章「盈不足」：即雙設法問題；提出了盈不足、盈適足和不足適足、兩盈和兩不足三種類型的盈虧問題，以及若干可以通過兩次假設化為盈不足問題的一般問題的解法。這也是處於世界領先地位的成果，傳到西方後，影響極大。其中例題20個，立術27條。

第八章「方程」：一次方程組問題；採用分離係數的方法表示線性方程組，相當於現在的矩陣；解線性方程組時使用的直除法，與矩陣的初等變換一致。這是世界上最早的完整的線性方程組的解法。在西方，直到17世紀才由萊布尼茲提出完整的線性方程的解法法則。這一章還引進和使用了負數，並提出了正負術——正負數的加減法則，與現今代數中法則完全相同；解線性方程組時實際還施行了正負數的乘除法。這是世界數學史上一項重大的成就，第一次突破了正數的範圍，擴展了數系。外國則到7世紀印度的婆羅摩及多才認識負數。其中例題18個，立術19條。

第九章「勾股」：利用勾股定理求解的各種問題。其中的絕大多數內容是與當時的社會生活密切相關的。提出了勾股數問題的通解公式：若a、b、c分別是勾股形的勾、股、弦，則，m>n。在西方，畢達哥拉斯、歐幾里得等僅得到了這個公式的幾種特殊情況，直到3世紀的丟番圖才取得相近的結果，這已比《九章算術》晚約3個世紀了。勾股章還有些內容，在西方卻還是近代的事。例如勾股章最後一題給出的一組公式，在國外到19世紀末才由美國的數論學家迪克森得出。其中例題24個，立術19條。

主要特點

《九章算術》確定了中國古代數學的框架，以計算為中心的特點，密切聯繫實際，以解決人們生產、生活中的數學問題為目的的風格。其影響之深，以致以後中國數學着作大體採取兩種形式：或為之作注，或仿其體例着書；甚至西算傳入中國之後，人們着書立說時還常常把包括西算在內的數學知識納入九章的框架。 然而，《九章算術》亦有其不容忽視的缺點：沒有任何數學概念的定義，也沒有給出任何推導和證明。魏景元四年（263年），劉徽給《九章算術》作注，才大大彌補了這個缺陷。

劉徽是中國數學家之一。他的生平知之甚少。據考證，他是山東鄒平人。劉徽定義了若干數學概念，全面論證了《九章算術》的公式解法，提出了許多重要的思想、方法和命題，他在數學理論方面成績斐然。

劉徽對數學概念的定義抽象而嚴謹。他揭示了概念的本質，基本符合現代邏輯學和數學對概念定義的要求。而且他使用概念時亦保持了其同一性。如他提出凡數相與者謂之率，把率定義為數量的相互關係。又如他把正負數定義為今兩算得失相反，要令正負以名之，擺脫了正為余，負為欠的原始觀念，從本質上揭示了正負數得失相反的相對關係。

《九章算術》的算法儘管抽象，但相互關係不明顯，顯得零亂。劉徽大大發展深化了中算中久已使用的率概念和齊同原理，把它們看作運算的綱紀。許多問題，只要找出其中的各種率關係，通過乘以散之，約以聚之，齊同以通之，都可以歸結為今有術求解。

一平面（或立體）圖形經過平移或旋轉，其面積（或體積）不變。把一個平面（或立體）圖形分解成若干部分，各部分面積（或體積）之和與原圖形面積（或體積）相等。基於這兩條不言自明的前提的出入相補原理，是中國古代數學進行幾何推演和證明時最常用的原理。劉徽發展了出入相補原理，成功地證明了許多面積、體積以及可以化為面積、體積問題的勾股、開方的公式和算法的正確性。