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一一映射是是指全國科學技術名詞審定委員會公布的科技名詞。

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名詞解釋

一一映射（一一映射）一般指雙射

既是單射又是滿射的映射稱為雙射，亦稱「一一映射」。

雙射(Bijection)的原理是一組關係，在判別某一種想法在應用能否雙向的找到某一唯一對應的事物，理論上通常要判斷這種想法是否滿足雙射的關係。因為具體的實施這一想法的途徑我們是並不知道的，所以需要抽象出他們的關係，找到這個雙射，如果找不到，並且驗證這個雙射不存在，那麼想法是不可能實現的。

簡介

設f是從集合A到集合B的映射，若f(A)=B，即B中任一元素b都是A中某元素的像，則稱f為A到B上的滿射；

若對A中任意兩個不同元素a1不等於a2，它們的像f1不等於f2，則稱f為A到B的單射；

若映射f既是單射，又是滿射，則稱映射f為A到B的「雙射」(或「一一映射」)。 函數為雙射當且僅當每個可能的像有且僅有一個變量與之對應。

函數f: A → B為雙射當且僅當對任意b∈B存在唯一a∈A滿足f(a) = b。

函數f : A → B為雙射當且僅當其可逆，即，存在函數g: B → A滿足g o f = A上的恆等函數，且f o g為B上的恆等函數。

兩個雙射的複合也是雙射。如g o f為雙射，則僅能得出f為單射且g為滿射。

同一集合上的雙射構成一個對稱群。

如果X,Y皆為實數集R，則雙射函數f:R→R可以被視覺化為兩根任意的水平直線只相交正好一次。（這是水平線測試的一個特例。）

定義

在集合論中，一個由集合X至集合Y的映射稱為雙射的，若對集合Y內的任意元素y，存在唯一一個集合X內的元素x，使得 y = f(x)。

換句話說，f為雙射的若其為兩集合間的一對一對應，亦即同時單射且滿射。

例如，由整數集合至的函數succ，其將每一個整數x連結至整數succ(x)=x+1，及另一函數sumdif，其將每一對實數(x,y)連結至sumdif(x,y) = (x + y, x − y)。

一雙射函數亦稱為置換。後者一般較常使用在X=Y時。以由X至Y的所有雙射組成的集合標記為XY.

雙射函數在許多數學領域扮演着很基本的角色，如在同構(和如同胚和微分同構等相關概念)、置換群、投影映射及許多其他概念的基本上。

舉例

假設存在關於x的函數:y=2x+3，對於任何x∈R及y∈R，由於y是x的線性函數，因此對於任何x都有唯一確定的y與其對應。又通過整理可以得到x=(y-3)/2，因此對於任何y，也有唯一確定的x與其對應。這樣，在y=2x+3在x∈R、y∈R的域中就是一個雙射函數。

而對於函數y=x2+2，對於x∈R、y∈R的取值範圍內，對於任何x，都有唯一確定的y與其對應。但對於

y≠2，任何y都對應2個不同的x。這樣y=x^+2在x∈R、y∈R的取值範圍內，不是雙射函數。但對於x∈[0,+∞）、y∈[2,+∞)。對於任何x，都有唯一確定的y與之對應，而對於任何y，都有x=(y-2)^0.5，即唯一確定的x與之對應。因此它是一個雙射函數。

應用

雙射的原理是一組關係，在判別某一種想法在應用能否雙向的找到某一唯一對應的事物，理論上通常要判斷這種想法是否滿足雙射的關係。因為具體的實施這一想法的途徑我們是並不知道的，所以需要抽象出他們的關係，找到這個雙射，如果找不到，並且驗證這個雙射不存在，那麼想法是不可能實現的。