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函數（數學）
函數（數學）
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函數，在數學上的定義：給定一個非空的數集A,對A施加對應法則f,記作f（A）,得到另一數集B,也就是B=f（A）.那麼這個關係式就叫函數關係式,簡稱函數.

簡單來講，對於兩個變量x和y，如果每給定x的一個值，y都有唯一一個確定的值與其對應，那麼我們就說y是x的函數。其中，x叫做自變量，y叫做因變量。

函數的性質

函數有界性

設函數f(x)的定義域為D，數集X包含於D。如果存在數K1，使得f(x)≤K1對任一x∈X都成立，則稱函數f(x)在X上有上界，而K1稱為函數f(x)在X上的一個上界。如果存在數K2，使得f(x)≥K2對任一x∈X都成立，則稱函數f(x)在X上有下界，而K2稱為函數f(x)在X上的一個下界。如果存在正數M，使得|f(x)|<=M對任一x∈X都成立，則稱函數f(x)在X上有界，如果這樣的M不存在，就稱函數f(x)在X上無界。

函數f(x)在X上有界的充分必要條件是它在X上既有上界又有下界。^[1]

函數的單調性

設函數f(x)的定義域為D，區間I包含於D。如果對於區間I上任意兩點x1及x2，當x1<x2時，恆有f(x1)<f(x2)，則稱函數f(x)在區間I上是單調增加的；如果對於區間I上任意兩點x1及x2，當x1<x2時，恆有f(x1)>f(x2)，則稱函數f(x)在區間I上是單調減少的。單調增加和單調減少的函數統稱為單調函數。

函數的奇偶性

設f(x)為一個實變量實值函數，則f為奇函數若下列的方程對所有實數x都成立：

f(x) = f( - x) 或f( -x) = - f(x) 幾何上，一個奇函數與原點對稱，亦即其圖在繞原點做180度旋轉後不會改變。

奇函數的例子有x、sin(x)、sinh(x)和erf(x)。^[2]

設f(x)為一實變量實值函數，則f為偶函數若下列的方程對所有實數x都成立：

f(x) = f( - x) 幾何上，一個偶函數會對y軸對稱，亦即其圖在對y軸為鏡射後不會改變。

偶函數的例子有|x|、x^2、cos(x)和cosh(sec)(x)。

偶函數不可能是個雙射映射。

函數的周期性

設函數f(x)的定義域為D。如果存在一個正數l，使得對於任一x∈D有(x士l)∈D，且f(x+l)=f(x)恆成立，則稱f(x)為周期函數，l稱為f(x)的周期，通常我們說周期函數的周期是指最小正周期。周期函數的定義域D為至少一邊的無界區間，若D為有界的，則該函數不具周期性。

並非每個周期函數都有最小正周期，例如狄利克雷（Dirichlet）函數。

函數的連續性

在數學中，連續是函數的一種屬性。直觀上來說，連續的函數就是當輸入值的變化足夠小的時候，輸出的變化也會隨之足夠小的函數。如果輸入值的某種微小的變化會產生輸出值的一個突然的跳躍甚至無法定義，則這個函數被稱為是不連續的函數（或者說具有不連續性）。

設f是一個從實數集的子集射到的函數：。f在中的某個點c處是連續的當且僅當以下的兩個條件滿足：

f在點c上有定義。c是中的一個聚點，並且無論自變量x在中以什麼方式接近c，f(x) 的極限都存在且等於f(c)。我們稱函數到處連續或處處連續，或者簡單的連續，如果它在其定義域中的任意點處都連續。更一般地，我們說一個函數在它定義域的子集上是連續的當它在這個子集的每一點處都連續。

不用極限的概念，也可以用下面所謂的方法來定義實值函數的連續性。

仍然考慮函數。假設c是f的定義域中的元素。函數f被稱為是在c點連續當且僅當以下條件成立：

對於任意的正實數，存在一個正實數δ> 0 使得對於任意定義域中的，只要x滿足c - δ< x < c + δ，就有成立。

函數的凹凸性

設函數f(x)在I上連續。如果對於I上的兩點x1≠x2，恆有f((x1+x2)/2)≤(f(x1)+f(x2))/2，（f((x1+x2)/2)<(f(x1)+f(x2))/2）那麼稱f(x)是區間I上的(嚴格)凸函數；如果恆有f((x1+x2)/2)≥(f(x1)+f(x2))/2，（f((x1+x2)/2)>(f(x1)+f(x2))/2）那麼稱f(x)是區間上的(嚴格)凹函數。一些資料中常常僅定義凹函數，凸函數則稱上凹函數，凹函數則稱下凹函數。

實函數和虛函數

實函數（Real function）是指定義域和值域均為實數域的函數。它的特性之一是一般可以在坐標上畫出圖形。

虛函數是面向對象程序設計中的一個重要的概念。當從父類中繼承的時候，虛函數和被繼承的函數具有相同的簽名。但是在運行過程中，運行系統將根據對象的類型，自動地選擇適當的具體實現運行。虛函數是面向對象編程實現多態的基本手段。

發展歷史

早期函數概念

十七世紀伽俐略(G．Galileo，意，1564－1642)在《兩門新科學》一書中，幾乎全部包含函數或稱為變量關係的這一概念，用文字和比例的語言表達函數的關係。1637年前後笛卡爾(Descartes，法，1596－1650)在他的解析幾何中，已注意到一個變量對另一個變量的依賴關係，但因當時尚未意識到要提煉函數概念，因此直到17世紀後期牛頓、萊布尼茲建立微積分時還沒有人明確函數的一般意義，大部分函數是被當作曲線來研究的。

1673年，萊布尼茲首次使用「function」（函數）表示「冪」，後來他用該詞表示曲線上點的橫坐標、縱坐標、切線長等曲線上點的有關幾何量。與此同時，牛頓在微積分的討論中，使用「流量」來表示變量間的關係。

十八世紀函數概念

1718年約翰·柏努利(Johann Bernoulli ，瑞，1667－1748)在萊布尼茲函數概念的基礎上對函數概念進行了定義：「由任一變量和常數的任一形式所構成的量。」他的意思是凡變量x和常量構成的式子都叫做x的函數，並強調函數要用公式來表示。 1748年，柏努利的學生歐拉在《無窮分析引論》一書中說：「一個變量的函數是由該變量的一些數或常量與任何一種方式構成的解析表達式。

1755，歐拉(L．Euler，瑞士，1707－1783) 把函數定義為「如果某些變量，以某一種方式依賴於另一些變量，即當後面這些變量變化時，前面這些變量也隨着變化，我們把前面的變量稱為後面變量的函數。」

18世紀中葉歐拉(L．Euler，瑞士，1707－1783)給出了定義：「一個變量的函數是由這個變量和一些數即常數以任何方式組成的解析表達式。」他把約翰·貝努利給出的函數定義稱為解析函數，並進一步把它區分為代數函數和超越函數，還考慮了「隨意函數」。不難看出，歐拉給出的函數定義比約翰·貝努利的定義更普遍、更具有廣泛意義。

十九世紀函數概念

1821年，柯西(Cauchy，法，1789－1857) 從定義變量起給出了定義：「在某些變數間存在着一定的關係，當一經給定其中某一變數的值，其他變數的值可隨着而確定時，則將最初的變數叫自變量，其他各變數叫做函數。」在柯西的定義中，首先出現了自變量一詞，同時指出對函數來說不一定要有解析表達式。不過他仍然認為函數關係可以用多個解析式來表示，這是一個很大的局限。

1822年傅里葉（Fourier，法國，1768——1830）發現某些函數也已用曲線表示，也可以用一個式子表示，或用多個式子表示，從而結束了函數概念是否以唯一一個式子表示的爭論，把對函數的認識又推進了一個新層次。

1837年狄利克雷(Dirichlet，德國，1805－1859) 突破了這一局限，認為怎樣去建立x與y之間的關係無關緊要，他拓廣了函數概念，指出：「對於在某區間上的每一個確定的x值，y都有一個確定的值，那麼y叫做x的函數。」這個定義避免了函數定義中對依賴關係的描述，以清晰的方式被所有數學家接受。這就是人們常說的經典函數定義。

等到康托(Cantor，德國，1845－1918)創立的集合論在數學中占有重要地位之後，維布倫(Veblen，美，1880－1960)用「集合」和「對應」的概念給出了近代函數定義，通過集合概念把函數的對應關係、定義域及值域進一步具體化了，且打破了「變量是數」的極限，變量可以是數，也可以是其它對象。

現代函數概念

1914年豪斯道夫(F．Hausdorff)在《集合論綱要》中用不明確的概念「序偶」來定義函數，其避開了意義不明確的「變量」、「對應」概念。庫拉托夫斯基(Kuratowski)於1921年用集合概念來定義「序偶」使豪斯道夫的定義很嚴謹了。

1930 年新的現代函數定義為「若對集合M的任意元素x，總有集合N確定的元素y與之對應，則稱在集合M上定義一個函數，記為y=f(x)。元素x稱為自變元，元素y稱為因變元。」

函數定義

概念：【在某變化過程中有兩個變量x,y，按照某個對應法則，對於給定的x，有唯一確定的值y與之對應，那麼y就叫做x的函數。其中x叫自變量，y叫因變量。】

在一個變化過程中，發生變化的量叫變量，有些數值是不隨變量而改變的，我們稱它們為常量。

自變量，函數一個與它量有關聯的變量，這一量中的任何一值都能在它量中找到對應的固定值。

因變量(函數)，隨着自變量的變化而變化，且自變量取唯一值時，因變量(函數)有且只有唯一值與其相對應。

函數值，在y是x的函數中，x確定一個值，Y就隨之確定一個值，當x取a時，Y就隨之確定為b，b就叫做a的函數值。

現代定義

一般地，給定非空數集A,B,按照某個對應法則f，使得A中任一元素x，都有B中唯一確定的y與之對應，那麼從集合A到集合B的這個對應，叫做從集合A到集合B的一個函數。記作：x→y=f(x),x∈A.集合A叫做函數的定義域，記為D,集合{y∣y=f(x),x∈A}叫做值域，記為C。定義域，值域，對應法則稱為函數的三要素。一般書寫為y=f(x),x∈D.若省略定義域，則指使函數有意義的一切實數所組成的集合。

簡單來說：是兩個變量的對應關係。注意①兩個變量②一個自變量只對一個函數值。

映射的定義

一般地，給定非空數集A,B，從集合A到集合B的一個映射，叫做從集合A到集合B的一個函數。

向量函數：自變量是向量的函數叫向量函數 f（a1.a2，a3......an）=y

映射定義

設A和B是兩個非空集合，如果按照某種對應關係f，對於集合A中的任何一個元素a，在集合B中都存在唯一的一個元素b與之對應，那麼，這樣的對應（包括集合A，B，以及集合A到集合B的對應關係f）叫做集合A到集合B的映射(Mapping)，記作f：A→B。其中，b稱為a在映射f下的象，記作：b=f(a); a稱為b關於映射f的原象。集合A中所有元素的象的集合記作f(A)。

則有：定義在非空數集之間的映射稱為函數。（函數的自變量是一種特殊的原象，因變量是特殊的象）

幾何含義

函數與不等式和方程存在聯繫（初等函數）。令函數值等於零，從幾何角度看，對應的自變量的值就是圖象與X軸的交點的橫坐標；從代數角度看，對應的自變量是方程的解。另外，把函數的表達式（無表達式的函數除外）中的「=」換成「<」或「>」，再把「Y」換成其它代數式，函數就變成了不等式，可以求自變量的範圍。

函數的集合論

如果X到Y的二元關係f：X×Y，對於每個x∈X，都有唯一的y∈Y，使得<x,y>∈f，則稱f為X到Y的函數，記做：f:X→Y。

當X=X1×…×Xn時，稱f為n元函數。

其特點：

前域和定義域重合

單值性：<x,y>∈f∧<x,y』>∈f →y=y』

函數圖象

函數f的圖象是平面上點對（x,f（x））的集合，其中x取定義域上所有成員的。函數圖象可以幫助理解證明一些定理。

如果X和Y都是連續的線，則函數的圖象有很直觀表示注意兩個集合X和Y的二元關係有兩個定義：一是三元組（X,Y,G），其中G是關係的圖；二是索性以關係的圖定義。用第二個定義則函數f等於其圖象。

當k<0時，直線為升，過一三象限或向上平移，向下平移象限；當k>0時，直線為降，過二四象限，向上或向下平移象限。

基本介紹

函數是數學中的一個基本概念，也是代數學裡面最重要的概念之一。

分類介紹

定義域、對應域和值域

輸入值的集合 X 被稱為 f 的定義域；可能的輸出值的集合Y 被稱為f的值域。函數的值域是指定義域中全部元素通過映射 f 得到的實際輸出值的集合。注意，把對應域稱作值域是不正確的，函數的值域是函數的對應域的子集。

計算機科學中，參數和返回值的數據類型分別確定了子程序的定義域和對應域。因此定義域和對應域是函數一開始就確定的強制進行約束。另一方面，值域是和實際的實現有關。

單射、滿射與雙射函數

單射函數，將不同的變量映射到不同的值。即：若x和y屬於定義域，則僅當x 不等於 y時有f（x）不等於 f（y）。

滿射函數，其值域即為其對映域。即：對映射f的對映域中之任意y，都存在至少一個x滿足f（x）= y。

雙射函數，既是單射的又是滿射的。也叫一一對應。雙射函數經常被用於表明集合X和Y是等勢的，即有一樣的基數。如果在兩個集合之間可以建立一個一一對應，則說這兩個集合等勢。

象和原象

元素x∈X在f的象就是f（x），他們所取的式值為0。

子集A?X在f的象是以其元素的象組成Y的子集，即f(x)

反函數

一般地，設函數y=f(x)(x∈A)的值域是C，根據這個函數中x,y 的關係，用y把x表示出，得到x= f(y). 若對於y在C中的任何一個值，通過x= f(y)，x在A中都有唯一的值和它對應，那麼，x= f(y)就表示y是自變量，x是自變量y的函數，這樣的函數x= f(y)(y∈C)叫做函數y=f(x)(x∈A)的反函數，記作x=f^-1(y).。反函數y=f^-1(x)的定義域、值域分別是函數y=f(x)的值域、定義域。

說明：

⑴在函數x=f^-1(y)中，y是自變量，x是函數，但習慣上，我們一般用x表示自變量，用y 表示函數，為此我們常常對調函數x=f^-1(y)中的字母x,y，把它改寫成y=f^-1(x)，今後凡無特別說明，函數y=f(x)的反函數都採用這種經過改寫的形式。。

⑵反函數也是函數，因為它符合函數的定義。從反函數的定義可知，對於任意一個函數y=f(x)來說，不一定有反函數，若函數y=f(x)有反函數y=f^-1(x)，那麼函數y=f^-1(x)的反函數就是y=f(x)，這就是說，函數y=f(x)與y=f^-1(x)互為反函數。

⑶從映射的定義可知，函數y=f(x)是定義域A到值域C的映射，而它的反函數y=f^-1(x)是集合C到集合A的映射，因此，函數y=f(x)的定義域正好是它的反函數y=f^-1(x)的值域；函數y=f(x)的值域正好是它的反函數y=f^-1(x)的定義域（如下表）：

函數y=f(x) 反函數y=f^-1(x)

定義域A C

值域 C A

⑷上述定義用「逆」映射概念可敘述為：

若確定函數y=f(x)的映射f是函數的定義域到值域「上」的「一一映射」，那麼由f的「逆」映射f^-1所確定的函數x=f^-1(x)就叫做函數y=f(x)的反函數. 反函數x=f^-1(x)的定義域、值域分別是函數y=f(x)的值域、定義域。

開始的兩個例子：s=vt記為f(t)=vt,則它的反函數就可以寫為f^-1(t)=t/v，同樣y=2x+6記為f(x)=2x+6，則它的反函數為：f^-1(x)=x/2-3。

有時是反函數需要進行分類討論，如：f(x)=X+1/X，需將X進行分類討論：在X大於0時的情況，X小於0的情況，多是要注意的。一般分數函數的反函數的表示為y=ax+b/cx+d(a/c不等於b/d)--y=b-dx/cx+a

反函數的應用：

直接求函數的值域困難時，可以通過求其原函數的定義域來確定原函數的值域，求反函數的步驟是這樣的：

1．先求出原函數的值域，因為原函數的值域就是反函數的定義域

（我們知道函數的三要素是定義域，值域，對應法則，所以先求反函數的定義域是求反函數的第一步）

2．反解x，也就是用y來表示x

3．改寫，交換位置，也就是把x改成y，把y改成x

4．寫出反函數及其定義域

就關係而言，一般是雙向的，函數也如此，設y=f（x）為已知的函數，若對每個y∈Y，有唯一的x∈X，使f（x）=y，這是一個由y找x的過程，即x成了y的函數，記為x=f -1（y）。則f -1為f的反函數。習慣上用x表示自變量，故這個函數仍記為y=f -1（x），例如 y=sinx與y=arcsinx 互為反函數。在同一坐標系中，y=f（x）與y=f -1（x）的圖形關於直線y=x對稱。

隱函數

若能由方程F（x，y）=0 確定y為x的函數y=f（x），即F（x，f（x））≡0，就稱y是x的隱函數。有些隱函數能表示為顯函數（y=f(x)的形式），有些則不能。

如：sin（x+y）=0；x^2+y^2-25=0 等等

注意：此處為方程F（x,y ）= 0 並非函數。

思考：隱函數是否為函數？

不是，因為在其變化的過程中並不滿足「一對一」和「多對一」。

多元函數

設有非空數集G、U，點（x1，x2，…，xn） ∈G，若對每一點（x1，x2，…，xn）∈G，由某規則f有唯一的 u∈U與之對應：f：G→U，u=f（x1，x2，…，xn），則稱f為一個n元函數，G為定義域，U為值域。

基本初等函數及其圖象冪函數、指數函數、對數函數、三角函數、反三角函數稱為基本初等函數。

①冪函數：y=x^μ（μ≠0，μ為任意實數）定義域：μ為正整數時為（－∞，+∞），μ為負整數時是（－∞，0）∪（0，+∞）；μ=α(a為整數)，當α是奇數時為（－∞，+∞），當α是偶數時為（0，+∞）；μ=p/q,p,q互素，作為的複合函數進行討論。

②指數函數：y=a^x（a>0 ，a≠1），定義域為（－∞，+∞），值域為（0 ，+∞），a>1 時是嚴格單調增加的函數（即當x2>x1時，），0③對數函數：y=logax（a>0），稱a為底，定義域為（0，+∞），值域為（－∞，+∞）。a>1 時是嚴格單調增加的，0<a<1時是嚴格單減的。不論a為何值，對數函數的圖形均過點（1，0），對數函數與指數函數互為反函數。

以10為底的對數稱為常用對數，簡記為lgx 。在科學技術中普遍使用的是以e為底的對數，即<a>自然對數，記作lnx。

④三角函數：見表2。

正弦函數、餘弦函數如圖6，如圖7所示。

⑤反三角函數：見表3。雙曲正、餘弦如圖8。

⑥雙曲函數：雙曲正弦（ex－e-x），雙曲餘弦?（ex+e-x），雙曲正切（ex－e-x）/（ex+e-x），雙曲餘切（ ex+e-x）/（ex－e-x）。

按照未知數次數分類

常函數

x取定義域內任意數時，都有 y=C (C是常數)，則函數y=C稱為常函數，

其圖象是平行於x軸的直線或直線的一部分。

一次函數

I、定義與定義式：自變量x和因變量y有如下關係： y=kx+b（k，b為常數，k≠0）則稱y是x的一次函數。特別地，當b=0時，即y=kx時，y是x的正比例函數。

（斜截式較常用。僅當斜率k存在時才能使用斜截式和點斜式）

一般式：ax+by+c=0

斜截式：y=kx+b

點斜式：y-y0=k(x-x0)

截距式：x/a+y/b=1（a，b分別為x，y軸上的截距）

兩點式：(y-y1)/(x-x1)=(y2-y1)/(x2-x1)

II、一次函數的性質： y的變化值與對應的x的變化值成正比例，比值為k即y/x=k III、一次函數的圖象及性質：

1．作法與圖形：通過如下3個步驟

（1）列表（一般找4-6個點）；

（2）描點；

（3）連線，可以作出一次函數的圖象。（用平滑的曲線連接）

2．性質：在一次函數圖象上的任意一點P（x，y），都滿足等式：y=kx+b。

3． k，b與函數圖象所在象限。當k>0時，直線必通過一、三象限，y隨x的增大而增大；當k<0時，直線必通過二、四象限，y隨x的增大而減小。當b>0時，直線必通過一、二象限當b<0時，直線必通過三、四象限。特別地，當b=0時，直線通過原點O（0，0）表示的是正比例函數的圖象。這時，當k>0時，直線只通過一、三象限與原點。當k<0時，直線只通過二、四象限與原點。

IV、確定一次函數的表達式：已知點A（x1，y1）；B（x2，y2），請確定過點A、B的一次函數的表達式。

（1）設一次函數的表達式（也叫解析式）為y=kx+b。

（2）因為在一次函數上的任意一點P（x，y），都滿足等式y=kx+b。所以可以列出2個方程： y1=kx1+b①和 y2=kx2+b②。

（3）解這個二元一次方程，得到k，b的值。

（4）最後得到一次函數的表達式。

V、在y=kx+b中，兩個坐標系必定經過(0,b)和(-b/k,0)兩點

VI、一次函數在生活中的應用

1．當時間t一定，距離s是速度v的一次函數。s=vt。

2．當水池抽水速度f一定，水池中水量g是抽水時間t的一次函數。設水池中原有水量S。g=S-ft。反比例函數形如 y=k/x(k為常數且k≠0) 的函數，叫做反比例函數。自變量x的取值範圍是不等於0的一切實數。反比例函數的圖象為雙曲線。如圖，上面給出了k分別為正和負（2和-2）時的函數圖象。

二次函數

一般地，自變量x和因變量y之間存在如下關係： y=ax^2+bx+c (a≠0)（a，b，c為常數，a≠0，且a決定函數的開口方向，a>0時，開口方向向上，a<0時，開口方向向下。IaI還可以決定開口大小，IaI越大開口就越小，IaI越小開口就越大。）則稱y為x的二次函數。

二次函數表達式的右邊通常為二次三項式。x是自變量，y是x的函數。

二次函數的三種表達式

一般式：y=ax^2+bx+c（a，b，c為常數，a≠0）

頂點式：y=a(x-h)^2+k [拋物線的頂點P（h，k）對於二次函數y=ax^2+bx+c 其頂點坐標為(-b/2a,(4ac-b^2)/(4a)]交點式：y=a(x-x1)(x-x 2) [僅限於與x軸有交點A（x1 ，0）和B（x2，0）的拋物線]其中x1，x2= (-b±√(b^2－4ac))/(2a) 註：在3種形式的互相轉化中，有如下關係：______h=-b/(2a) k=(4ac-b^2)/(4a) x?,x?=(-b±√b^2-4ac)/2a

二次函數的圖象

在平面直角坐標系中作出二次函數y=x^2的圖象，可以看出，二次函數的圖象是一條拋物線。

二次函數標準畫法步驟　　

（在平面直角坐標系上）

（1）列表

（2）描點

（3）連線

拋物線的性質　　

1．拋物線是軸對稱圖形。對稱軸為直線x = -b/2a（頂點式　x=h）。

對稱軸與拋物線唯一的交點為拋物線的頂點P。

特別地，當b=0時，拋物線的對稱軸是y軸（即直線x=0）

2．拋物線有一個頂點P，坐標為P ( -b/2a ，(4ac-b^2)/4a )

當-b/2a=0時，P在y軸上；當Δ= b^2-4ac=0時，P在x軸上。

3．二次項係數a決定拋物線的開口方向和大小。

當a>0時，拋物線向上開口；當a<0時，拋物線向下開口。

|a|越大，則拋物線的開口越小。

4．一次項係數b和二次項係數a共同決定對稱軸的位置。

當a與b同號時（即ab>0），對稱軸在y軸左

當a與b異號時（即ab<0），對稱軸在y軸右。

5．常數項c決定拋物線與y軸交點。

拋物線與y軸交於（0，c），c是縱截距。

6．拋物線與x軸交點個數

Δ= b^2-4ac>0時，拋物線與x軸有2個交點。

Δ= b^2-4ac=0時，拋物線與x軸有1個交點。

Δ= b^2-4ac<0時，拋物線與x軸沒有交點。X的取值是虛數（x= -b±√b^2－4ac 的值的相反數，乘上虛數i，整個式子除以2a）

當a>0時，函數在x= -b/2a處取得最小值f(-b/2a)=4ac-b^2/4a；在{x|x<-b/2a}上是減函數，在{x|x>-b/2a}上是增函數；拋物線的開口向上；函數的值域是{x|x≥4ac-b^2/4a}相反不變

當b=0時，拋物線的對稱軸是y軸，這時，函數是偶函數，解析式變形為y=ax^2+c(a≠0)

二次函數與一元二次方程

特別地，二次函數（以下稱函數）y=ax^2+bx+c，

當y=0時，二次函數為關於x的一元二次方程（以下稱方程），

即ax^2+bx+c=0

此時，函數圖象與x軸有無交點即方程有無實數根。

函數與x軸交點的橫坐標即為方程的根。

1．二次函數y=ax^2，y=a(x-h)^2，y=a(x-h)^2 +k，y=ax^2+bx+c(各式中，a≠0)的圖象形狀相同，只是位置不同，它們的頂點坐標及對稱軸如下表：

解析式

y=ax^2 ；y=a(x-h)^2 ； y=a(x-h)^2+k ； y=ax^2+bx+c

對應頂點坐標

(0，0) ； (h，0) ； (h，k) ； (-b/2a，(4ac-b^2)/4a)

對應對稱軸

x=0 ； x=h ； x=h ； x=-b/2a

當h>0時，y=a(x-h)^2的圖象可由拋物線y=ax^2向右平行移動h個單位得到，

當h<0時，則向左平行移動|h|個單位得到．

當h>0,k>0時，將拋物線y=ax^2向右平行移動h個單位，再向上移動k個單位，就可以得到y=a(x-h)^2 +k的圖象

當h>0,k<0時，將拋物線y=ax^2向右平行移動h個單位，再向下移動|k|個單位可得到y=a(x-h)^2+k的圖象

當h<0,k>0時，將拋物線向左平行移動|h|個單位，再向上移動k個單位可得到y=a(x-h)^2+k的圖象

當h<0,k<0時，將拋物線向左平行移動|h|個單位，再向下移動|k|個單位可得到y=a(x-h)^2+k的圖象

因此，研究拋物線 y=ax^2+bx+c(a≠0)的圖象，通過配方，將一般式化為y=a(x-h)^2+k的形式，可確定其頂點坐標、對稱軸，拋物線的大體位置就很清楚了．這給畫圖象提供了方便．

2．拋物線y=ax^2+bx+c(a≠0)的圖象：當a>0時，開口向上，當a<0時開口向下，對稱軸是直線x=-b/2a，頂點坐標是(-b/2a，[4ac-b^2]/4a)．

3．拋物線y=ax^2+bx+c(a≠0)，若a>0，當x ≤-b/2a時，y隨x的增大而減小，函數是減函數；當x ≥-b/2a時，y隨x的增大而增大，函數是增函數．若a<0，當x ≤-b/2a時，y隨x的增大而增大，函數是增函數；當x ≥-b/2a時，y隨x的增大而減小，函數是減函數．

4．拋物線y=ax^2+bx+c的圖象與坐標軸的交點：

(1)圖象與y軸一定相交，交點坐標為(0，c)；

(2)當△=b^2-4ac>0，圖象與x軸交於兩點A(x?，0)和B(x?，0)，其中的x1,x2是一元二次方程ax^2+bx+c=0

(a≠0)的兩根．這兩點間的距離AB=|x?-x?| 另外，拋物線上任何一對對稱點的距離可以由|2×（-b/2a）－A |（A為其中一點）

當△=0．圖象與x軸只有一個交點

當△<0．圖象與x軸沒有交點．當a>0時，圖象落在x軸的上方，x為任何實數時，都有y>0；當a<0時，圖象落在x軸的下方，x為任何實數時，都有y<0．

5．拋物線y=ax^2+bx+c的最值：如果a>0(a<0)，則當x= -b/2a時，y最小(大)值=(4ac-b^2)/4a．

頂點的橫坐標，是取得最值時的自變量值，頂點的縱坐標，是最值的取值．

6．用待定係數法求二次函數的解析式

(1)當題給條件為已知圖象經過三個已知點或已知x、y的三對對應值時，可設解析式為一般形式：

y=ax^2+bx+c(a≠0)．

(2)當題給條件為已知圖象的頂點坐標或對稱軸時，可設解析式為頂點式：y=a(x-h)^2+k(a≠0)．

(3)當題給條件為已知圖象與x軸的兩個交點坐標時，可設解析式為兩根式：y=a(x-x1)(x-x2)(a≠0)．

7．二次函數知識很容易與其它知識綜合應用，而形成較為複雜的綜合題目。因此，以二次函數知識為主的綜合性題目是中考的熱點考題，往往以大題形式出現。

超越函數

三角函數是數學中屬於初等函數中的超越函數的一類函數。它們的本質是任意角的集合與一個比值的集合的變量之間的映射。通常的三角函數是在平面直角坐標系中定義的，其定義域為整個實數域。另一種定義是在直角三角形中，但並不完全。現代數學把它們描述成無窮數列的極限和微分方程的解，將其定義擴展到複數系。

由於三角函數的周期性，它並不具有單值函數意義上的反函數。

三角函數在複數中有較為重要的應用。在物理學中，三角函數也是常用的工具。

它有六種基本函數：

函數名：正弦餘弦正切餘切正割餘割

符號 sin cos tan cot sec csc

正弦函數sin（A）=a/h

餘弦函數cos（A）=b/h

正切函數tan（A）=a/b

餘切函數cot（A）=b/a

正割函數sec(A)=h/b

餘割函數csc　(A)=h/a　

在某一變化過程中，兩個變量x、y，對於某一範圍內的x的每一個值，y都有確定的值和它對應，y就是x的函數。這種關係一般用y=f(x)來表示。　　

冪函數

冪函數的一般形式為y=x^a。

如果a取非零的有理數是比較容易理解的，不過初學者對於a取無理數，則不太容易理解，在我們的課程里，不要求掌握如何理解指數為無理數的問題，因為這涉及到實數連續統的極為深刻的知識。因此我們只要接受它作為一個已知事實即可。

對於a的取值為非零有理數，有必要分成幾種情況來討論各自的特性：

首先我們知道如果a=p/q，q和p都是整數，則x^(p/q)=q次根號（x的p次方），如果q是奇數，函數的定義域是R，如果q是偶數，函數的定義域是[0,+∞）。當指數n是負整數時，設a=-k，則x=1/(x^k)，顯然x≠0，函數的定義域是（－∞，0)∪(0,+∞).因此可以看到x所受到的限制來源於兩點，一是有可能作為分母而不能是0，一是有可能在偶數次的根號下而不能為負數，那麼我們就可以知道：

排除了為0與負數兩種可能，即對於x>0，則a可以是任意實數

排除了為0這種可能，即對於x<0和x>0的所有實數，q不能是偶數

排除了為負數這種可能，即對於x為大於且等於0的所有實數，a就不能是負數。

總結起來，就可以得到當a為不同的數值時，冪函數的定義域的不同情況如下：

如果a為任意實數，則函數的定義域為大於0的所有實數

如果a為負數，則x肯定不能為0，不過這時函數的定義域還必須根據q的奇偶性來確定，即如果同時q為偶數，則x不能小於0，這時函數的定義域為大於0的所有實數；如果同時q為奇數，則函數的定義域為不等於0的所有實數。

在x大於0時，函數的值域總是大於0的實數。

在x小於0時，則只有同時q為奇數，函數的值域為非零的實數。

而只有a為正數，0才進入函數的值域。

由於x大於0是對a的任意取值都有意義的，因此下面給出冪函數在第一象限的各自情況。

可以看到：

（1）所有的圖形都通過（1，1）這點。

（2）當a大於0時，冪函數為單調遞增的，而a小於0時，冪函數為單調遞減函數。

（3）當a大於1時，冪函數圖形下凹；當a小於1大於0時，冪函數圖形上凸。

（4）當a小於0時，a越小，圖形傾斜程度越大。

（5）a大於0，函數過（0，0）；a小於0，函數不過（0，0）點。

（6）顯然冪函數無界。　　

複變函數

複變函數是定義域為複數集合的函數。

複數的概念起源於求方程的根，在二次、三次代數方程的求根中就出現了負數開平方的情況。在很長時間裡，人們對這類數不能理解。但隨着數學的發展，這類數的重要性就日益顯現出來。複數的一般形式是：a+bi，其中i是虛數單位。

以複數作為自變量的函數就叫做複變函數，而與之相關的理論就是複變函數論。解析函數是複變函數中一類具有解析性質的函數，複變函數論主要就研究複數域上的解析函數，因此通常也稱複變函數論為解析函數論。

複變函數論的發展簡況

複變函數論產生於十八世紀。1774年，歐拉在他的一篇論文中考慮了由複變函數的積分導出的兩個方程。而比他更早時，法國數學家達朗貝爾在他的關於流體力學的論文中，就已經得到了它們。因此，後來人們提到這兩個方程，把它們叫做「達朗貝爾-歐拉方程」。到了十九世紀，上述兩個方程在柯西和黎曼研究流體力學時，作了更詳細的研究，所以這兩個方程也被叫做「柯西-黎曼條件」。

複變函數論的全面發展是在十九世紀，就象微積分的直接擴展統治了十八世紀的數學那樣，複變函數這個新的分支統治了十九世紀的數學。當時的數學家公認複變函數論是最豐饒的數學分支，並且稱為這個世紀的數學享受，也有人稱讚它是抽象科學中最和諧的理論之一。

為複變函數論的創建做了最早期工作的是歐拉、達朗貝爾，法國的拉普拉斯也隨後研究過複變函數的積分，他們都是創建這門學科的先驅。

後來為這門學科的發展作了大量奠基工作的要算是柯西、黎曼和德國數學家維爾斯特拉斯。二十世紀初，複變函數論又有了很大的進展，維爾斯特拉斯的學生，瑞典數學家列夫勒、法國數學家彭加勒、阿達瑪等都作了大量的研究工作，開拓了複變函數論更廣闊的研究領域，為這門學科的發展做出了貢獻。

複變函數論在應用方面，涉及的面很廣，有很多複雜的計算都是用它來解決的。比如物理學上有很多不同的穩定平面場，所謂場就是每點對應有物理量的一個區域，對它們的計算就是通過複變函數來解決的。

比如俄國的茹柯夫斯基在設計飛機的時候，就用複變函數論解決了飛機機翼的結構問題，他在運用複變函數論解決流體力學和航空力學方面的問題上也做出了貢獻。

複變函數論不但在其他學科得到了廣泛的應用，而且在數學領域的許多分支也都應用了它的理論。它已經深入到微分方程、積分方程、概率論和數論等學科，對它們的發展很有影響。

複變函數論的內容

複變函數論主要包括單值解析函數理論、黎曼曲面理論、幾何函數論、留數理論、廣義解析函數等方面的內容。

如果當函數的變量取某一定值的時候，函數就有一個唯一確定的值，那麼這個函數解就叫做單值解析函數，多項式就是這樣的函數。

複變函數也研究多值函數，黎曼曲面理論是研究多值函數的主要工具。由許多層面安放在一起而構成的一種曲面叫做黎曼曲面。利用這種曲面，可以使多值函數的單值枝和枝點概念在幾何上有非常直觀的表示和說明。對於某一個多值函數，如果能作出它的黎曼曲面，那麼，函數在離曼曲面上就變成單值函數。

黎曼曲面理論是複變函數域和幾何間的一座橋樑，能夠使我們把比較深奧的函數的解析性質和幾何聯繫起來。近來，關於黎曼曲面的研究還對另一門數學分支拓撲學有比較大的影響，逐漸地趨向於討論它的拓撲性質。

複變函數論中用幾何方法來說明、解決問題的內容，一般叫做幾何函數論，複變函數可以通過共形映象理論為它的性質提供幾何說明。導數處處不是零的解析函數所實現的映象就都是共形映象，共形映象也叫做保角變換。共形映象在流體力學、空氣動力學、彈性理論、靜電場理論等方面都得到了廣泛的應用。

留數理論是複變函數論中一個重要的理論。留數也叫做殘數，它的定義比較複雜。應用留數理論對於複變函數積分的計算比起線積分計算方便。計算實變函數定積分，可以化為複變函數沿閉迴路曲線的積分後，再用留數基本定理化為被積分函數在閉合迴路曲線內部孤立奇點上求留數的計算，當奇點是極點的時候，計算更加簡潔。

把單值解析函數的一些條件適當地改變和補充，以滿足實際研究工作的需要，這種經過改變的解析函數叫做廣義解析函數。廣義解析函數所代表的幾何圖形的變化叫做擬保角變換。解析函數的一些基本性質，只要稍加改變後，同樣適用於廣義解析函數。

廣義解析函數的應用範圍很廣泛，不但應用在流體力學的研究方面，而且象薄殼理論這樣的固體力學部門也在應用。因此，近年來這方面的理論發展十分迅速。

從柯西算起，複變函數論已有170多年的歷史了。它以其完美的理論與精湛的技巧成為數學的一個重要組成部分。它曾經推動過一些學科的發展，並且常常作為一個有力的工具被應用在實際問題中，它的基礎內容已成為理工科很多專業的必修課程。現在，複變函數論中仍然有不少尚待研究的課題，所以它將繼續向前發展，並將取得更多應用。

upcase 字符型使小寫英文字母變為大寫字符型

downcase 字符型使大寫英文字母變為小寫字符型　　

電腦函數

函數過程中的這些語句用於完成某些有意義的工作——通常是處理文本，控制輸入或計算數值。通過在程序代碼中引入函數名稱和所需的參數，可在該程序中執行（或稱調用）該函數。

類似過程，不過函數一般都有一個返回值。它們都可在自己結構裡面調用自己，稱為遞歸。

大多數編程語言構建函數的方法裡都含有Function關鍵字（或稱保留字）。

與數學上的函數類似，函數多用於一個等式，如y=f(x)（f由用戶自己定義）。

程序設計中的函數

許多程序設計語言中，可以將一段經常需要使用的代碼封裝起來，在需要使用時可以直接調用，這就是程序中的函數。比如在C語言中：

int max(int x,int y)

{return(x>y?x:y;);}

就是一段比較兩數大小的函數，函數有參數與返回值。C++程序設計中的函數可以分為兩類：帶參數的函數和不帶參數的函數。這兩種參數的聲明、定義也不一樣。

帶有（一個）參數的函數的聲明：

類型名標示符+函數名+（類型標示符+參數）

{// 程序代碼}

沒有返回值且不帶參數的函數的聲明：void+函數名（）

{/ 程序代碼}

花括號內為函數體。

如果沒有返回值類型名為"void", int 類型返回值為int,以此類推……

類型名有：void int long float int* long* float* ……

C++中函數的調用：函數必須聲明後才可以被調用。調用格式為：函數名（實參）

調用時函數名後的小括號中的實參必須和聲明函數時的函數括號中的形參個數相同。

有返回值的函數可以進行計算，也可以做為右值進行賦值。

include <iostream>

using namespace std;

int f1(int x, int y)

{int z;

return x+y;}

void main(){cout<<f1(50,660)<<endl}　　

摺疊C語言中的部分函數 main（主函數）

max（求最大數的函數）

canf（輸入函數）

rintf（輸出函數）

gets (標準輸入流函數)

C語言中的庫函數

C語言為了方便用戶編寫程序，為用戶開發了大量的庫函數，其定義在.h文件中，用戶可以調用這些函數實現強大的功能。所以對於用戶來說，掌握這些函數的用法是提高編程水平的關鍵。

複合函數

設y=f(μ),μ=φ(x),當x在μ=φ(x)的定義域Dφ中變化時，μ=φ(x)的值在y=f(μ)的定義域Df內變化，因此變量x與y之間通過變量μ形成的一種函數關係，記為

y=f(μ)=f[φ(x)]稱為複合函數，其中x稱為自變量，μ為中間變量，y為因變量(即函數)

生成條件

任何兩個函數都可以複合成一個複合函數，只有當μ=φ(x)的值域Zφ和y=f(μ)的定義域Df的交集不為空集時，二者才可以複合成一個複合函數。

定義域

若函數y=f(u)的定義域是B﹐函數u=g(x)的定義域是A﹐則複合函數y=f[g(x)]的定義域是D={x|x∈A,且g(x)∈B}

周期性

設y=f(x),的最小正周期為T1，μ=φ(x）的最小正周期為T2，則y=f(μ)的最小正周期為T1*T2，任一周期可表示為k*T1*T2（k屬於R+）

周期函數性質：　　

（1）若T（T≠0）是f(x)的周期，則-T也是f(x)的周期。

（2）若T（T≠0）是f(x)的周期，則nT（n為任意非零整數）也是f(x)的周期。

（3）若T1與T2都是f(x)的周期，則T1±T2也是f(x)的周期。

（4）若f(x)有最小正周期T*，那麼f(x)的任何正周期T一定是T*的正整數倍。

（5）T*是f(x)的最小正周期，且T1、T2分別是f(x)的兩個周期，則T1、T2∈Q（Q是有理數集）

（6）若T1、T2是f(x)的兩個周期，且 T *是無理數，則f(x)不存在最小正周期。

（7）周期函數f(x)的定義域M必定是雙方無界的集合。　

增減性

依y=f(x),μ=φ(x)的增減性決定。即「增增得增，減減得增，增減得減」，可以簡化為「同增異減」

判斷複合函數的單調性的步驟如下：

(1)求複合函數定義域；

(2)將複合函數分解為若干

個常見函數(一次、二次、冪、指、對函數)；

(3)判斷每個常見函數的單調性；

(4)將中間

變量的取值範圍轉化為自變量的取值範圍；

(5)求出複合函數的單調性。

例如：討論函數y=0.8^(x2-4x+3)的單調性。

解：函數定義域為R。

令u=x2-4x+3，y=0.8^u。

指數函數y=0.8^u在(-∞，+∞)上是減函數，

u=x2-4x+3在(-∞，2]上是減函數，在[2，+∞)上是增函數，

∴函數y=0.8^(x2-4x+3)在(-∞，2]上是增函數，在[2，+∞)上是減函數。

利用複合函數求參數取值範圍

求參數的取值範圍是一類重要問題，解題關鍵是建立關於這個參數的不等式組，必須將已知的所有條件加以轉化。

參考來源

[1] 高中數學函數解題技巧的學習方法,高中數學函數解題技巧

[2] 函數的定義?

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