單位根檢視原始碼討論檢視歷史
| 單位根 |
|
中文名: 單位根 外文名: unit root 定 義: x^n=1(n為正整數)x為單位根 相關術語: 本源根 應用學科: 數學 性 質: n次單位根的模為1 |
單位根數學上，n次單位根是n次冪為1的複數。它們位於複平面的單位圓上，構成正n邊形的頂點，其中一個頂點是1。[1]
定義
這方程的複數根 z為n次單位根。
單位的 n次根有n個：
單位的n次根以乘法構成n階循環群。單位根（unit root）設n 是正整數，當一個數的n 次乘方等於1 時，稱此數為n 次「單位根」。在複數範圍內，n 次單位根有n 個。例如，1、－1、i、－i 都是4次單位根。確切的說，單位根指模為1的根，一般的x的n個單位根可以表示為： ，其中k和n互質。單位的n次本源根數目為歐拉函數φ（n）。
例子
單位的一次根有一個：1。
單位的二次根有兩個：+1和-1，只有-1是本原根。
單位的三次根是
其中i複數單位；除1外都是本源根。
單位的四次根是
{1,+i,-1,-i}
其中 + i和 - i是本源根。
性質
性質一
n次單位根的模為1，即|εk|=1
性質二
兩個n次單位根εj與εk 的乘積還是一個n次單位根，且εjεk =εj+k
推論1：εj-1=ε-j
推論2：
εkm=εmk
推論3：
若k除以n的餘數為r，則εk=εr
註：它說明εk等價於r=0
推論4：
任何一個單位根都可以寫成ε1的冪，即εk=ε1k
說明：除了ε1，還有沒有另一個單位根εk使任何一個單位根都是εk的冪，回答是肯定的，並稱這樣的根為n次本原根，n次原根。從而所有n次單位根還可以寫作
ε1,ε12,…,ε1n（ε0=1）
推論5：
一個n次單位根的共軛也是一個n次單位根，即εk=εn-k（『表示共軛）
因為εkεk=|εk|2，εk=1/εk=ε-k=εn-k （由推論3）
註：由上證明看到1/εk=εk'，說明所有虛的n次單位根都成對共軛
推論6：
對任意整數k,h，有εkh=εhk
性質三
A=1+ε1m+ε2m+…+εn-1m當n|m時，A=n，否則A=0
推論1：
推論2：設εk≠1，則
性質四
全部單位根將複平面上單位圓n等分。
和式
當n不小於 2時， n次單位根總和為 0。這一結果可以用不同的方法證明。一個基本方法是等比級數：
第二個證法是它們在複平面上構成正多邊形的頂點，而從對稱性知這多邊形的重心在原點。
還有一個證法利用關於方程根與係數的韋達定理，由分圓方程的xn-1項係數為零得出。