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古戈爾

圖片來自大數學

古戈爾(googol)是指1後有100個0，可以表示為：10,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000。這是美國數學家愛德華·卡斯納的侄子米爾頓·西羅蒂造出古戈爾一詞，卡斯納其派生出古戈爾普勒克斯一詞。我國自古10100是萬恆河沙，10-100是萬虛，而10的萬恆河沙次方與萬虛次方則需編程計算才能得知。

大小

因為古戈爾比已知宇宙中基本粒子數目要多（後者估計在10^72到10^87之間），而古戈爾普勒克斯的零的數目為古戈爾，所以要把古戈爾普勒克斯以十進制寫出來或存入檔案都是不可能的。

以另一角度看，假設要把古戈爾普勒克斯以小得看不到的1點字型印出。TeX排版系統的1點字型一個數字占0.3514598毫米，整個數需要米。已知宇宙的直徑是米。所以整個數的長度是宇宙直徑的倍。所需要的時間也是長得不可能的：要是一秒鐘寫2個數字，寫出古戈爾普勒克斯的時間是宇宙年齡的1.1×10^82倍。

即使這樣，古戈爾普勒克斯仍是小於一些特別定義出來的巨大數，比如用高德納箭號表示法或施泰因豪斯-莫澤記法表示的數。更簡單的，可以用比古戈爾普勒克斯少的符號數目表示更大的數。

最大單位

「最大」的計數單位

古戈爾普勒克斯，是10的古戈爾次方，那麼古戈爾有多大？

我們知道的單位「億」僅僅是1後面有8個零，而古戈爾就是1後面有100個零。

log（古戈爾普勒克斯），結果也是如此大的數字。

世界上每秒運算10億(10的9次方)次的最快速的電子計算機，假定它從宇宙大爆炸時（距今約137億年）就開始運算，到2020年，其運算總次數也不夠10的100次方次。

地球的面積約為510000000平方公里，如果用平方毫米作單位來表示，也只不過是5×10的20次方平方毫米。地球的體積為 1083000000000立方公里，如果我們用立方毫米來表示，那也只有10的30次方。1立方毫米相當於一根大頭針的針頭那麼大，裡面最多能容納10 粒細砂，那麼整個地球的體積內，也只能容納10的31次方顆細砂粒，這些數字，都遠遠小於「古戈爾」（10^100）。 更不要說古戈爾普勒克斯。

星際距離，一般用光年來度量。1光年是光線一年所通過的距離，約為9460800000000公里。我們所能觀測到的空間範圍（即哈勃體積，半徑約465億光年），用最小的長度單位埃（千萬分之一毫米）來表示，數量級也只有10的36次方埃。

已知宇宙範圍（直徑約930億光年）是我們研究對象中最大的一個，夸克（其直徑為10的-15~-20次方米）是最小的一個，而這兩個研究對象的大小（線度）對比的倍數，數量級也只有10的31次方倍。

再說時間，我們選一個具有物理意義的最小計時單位，來表示宇宙中從宇宙大爆炸到如今的計時--「爆炸計時」。我們取光線穿過一個原子核那麼大的空間所用的時間，作為計算時間的單位，那麼，「爆炸計時」是這一單位的10的40次方倍。

下面我們來計算一下可觀測宇宙空間（直徑約930億光年）中，所存在的基本粒子總數，其中包括質子、中子，以及中微子和沒有靜止質量的光子。雖然一粒灰塵中含有幾十億個基本粒子，但在整個已知的宇宙空間中，總共約有10的80次方個基本粒子。這個數只是「古戈爾」的幾千京分之一。

即使把津巴布韋的所有貨幣上的面值加在一起，也不會大於10的100次方，因為，最大面值是10^14，也僅僅是10^94，還小於古戈爾。

如果這個數據，乘1000000，才能到古戈爾的數量級。

其它數

其他數的大小

中數者，萬萬變之，若言萬萬曰億，萬萬億曰兆，萬萬兆曰京也。

下數淺短，計事則不盡。上數宏廓，世不可用。故其傅業，推以中數耳。

數之為用，言重則變，以小兼大，又加循環。循環之理，豈有窮乎。

上文選自後漢徐岳的《數術記遺》，以下出自元朱世傑的《算學啟蒙》。

果戈理

實際上，我們不明白這些數字的真正含義。

——戴維斯·托克曼

道格拉斯·亞當斯在經典的《銀河系漫遊指南》中講了一個故事——一支龐大的外星艦隊前來攻擊地球，結果他們發現自己在規模上犯了一個致命的錯誤。軍隊一降落在公園，就被一隻小狗吃掉了。

這個故事簡直爆笑，同時也讓我們對尺度有了新的認識和思考。

剛開始學自然數的孩子，往往喜歡比誰說的要大。

孩子們學習100以內的數字。如果一個說「我有99個XXX」，另一個說「我有100個XXX」。

當他們學到幾千、幾百、幾十億的時候，他們會認為一萬、一億是非常大的數字。

後來，當他們對位置系統一無所知時，他們可能會說:1後面跟着100個零。......

1後面有100個零，是個隨便的數字。事實上，有一個學名叫做googol。這個數字的來源有典故。

1938年，數學家愛德華·卡斯納讓他9歲的侄子米爾頓說出一個難以置信的大數字。米爾頓隨後回答稱其為果戈理，並將其定義為1後跟100個零。

這個數字的指數形式是10100。

事實上，這個數字已經相當大了，超過了宇宙中已知粒子的數量。但是這個9歲的男孩顯然不滿意，他提出了一個新的數字，叫做googolplex。起初，這個孩子想把這個數字定義為「寫零和寫手痛」，但後來他決定將其標準化，定義為:1後跟古根海姆零。

從這個小小的變化中，我們可以看到彌爾頓的數學天賦。你要知道「寫零到寫酸手」只是一個模糊的名詞，在數學上非常不嚴謹。就像很多孩子會彈出數字「無窮大」，而無窮大在他們口中只是一個模糊的概念。但是彌爾頓後來對googolplex的精確定義反映了數學的嚴謹性。

古戈爾足以覆蓋整個宇宙。Gugor的0在1之後有多大？