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哥德巴赫猜想
是一個尚未被證明的數學猜想，該猜想認為，任意大於等於四的偶數，都可以寫成兩個質數之和；另外任意大等於於七的奇數，都可寫成三個質數的和。
基本上，只要能證明「任意大於等於四的偶數，都可以寫成兩個質數之和」，就可以證明「任意大等於於七的奇數，都可寫成三個質數的和」，因為前者可直接推得後者，因此「任意大於等於四的偶數，都可以寫成兩個質數之和」為此猜想的「強」版本；「任意大等於於七的奇數，都可寫成三個質數的和」為此猜想的「弱」版本。
分解實例(一些數有不只一種分解方法)：4 = 2+2、6 = 3+3、(7 = 2+2+3)、8 = 5+3、(9 = 3+3+3)、10 = 5+5 = 7+3、(11 = 7+2+2 = 5+3+3)、12 = 7+5、(13 = 7+3+3 = 5+5+3)、14 = 7+7 = 11+3、(15 = 5+5+5 = 7+5+3 = 11+2+2)、16 = 11+5 = 13+3、......。目前已知在1017次方以下此定理的「強」版本(及「弱」版本)沒有反例存在。
此猜想在十八世紀就被克里斯蒂安·哥德巴赫提出(哥德巴赫認為1也是質數，故其原始的敘述與現今的版本不同)，但截至目前為止，沒有人可證實(或反證)此猜想，而此猜想亦為希爾伯特第八問題的一部份。
以往的證明全部都是錯誤的
設a,b,c為殆素數，即n個素數的乘積。
問：【1+1】是否包含在【 a+b】或者【1+c】中？
如果回答：「是」
問：證明程序是否可以從【a+b】或者【1+c】到達【1+1】？
如果回答：「是」。
問：【1+1】是否可以從【a+b】或者【1+c】中剝離出來？
如果回答：「是」。
最後如果證明了【1+1】不能成立，前面3條就都是錯誤的。
因為這個就是預期理由的錯誤。
分析一，就是說，前面三條是在假定【1+1】必須正確的情況下的「成果」，這個就荒唐了，我們還不知道最後是否正確，就假定了最後成果必然正確。這個就是預期理由的邏輯錯誤，預期理由是暗含了「假定存在」的非邏輯前提，數學證明嚴禁使用非邏輯前提。
分析二，如果前面三條不能成立或者不能肯定必然成立，怎麼可以算是「成果」呢？
1，假定。只能用在否定結果的證明中，例如，歐幾里得證明素數無窮多個。 假定a成立，可以推出b，得到c，c與a矛盾，所以假定的a不能成立，得到非a。
2，假定不能用在肯定的結論。假定a，可以推出b，得到c，c=a，或者c包含a，所以假定的a成立。（這個就是預期理由的錯誤）
3，為什麼「假定」只能用於否定的結論，而不能用於肯定的結論？
一個對科學理論更強的邏輯制約因素是，它們是能夠被證偽的。換一句話說，因為以後能夠被觀測作有意義的檢驗，理論一定有被證偽的可能性。這種證偽的判據是區分科學與偽科學的一種方法。原因在於證實的內在局限性，證實只能增加一個理論的可信度，卻不能證明整個理論的完全正確。因為在未來的某一個時刻，總是會發現與理論有衝突的事例。
就是說，因為「證明」所謂【1+3】而獲得菲爾茲獎的邦別里也是錯誤的。
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哥德巴赫猜想只是一個初等數論問題
素數普遍公式
（清華大學出版社【品數學】第5頁）
西元前250年同樣是古希臘的數學家埃拉托塞尼提出一種篩法：
（一），「要得到不大於某個自然數N的所有素數，只要在2---N中將不大於√N的素數的倍數全部划去即可」。
（二），「如果自然數N是合數，則它有一個因子d滿足1<d≤√N.。
（三），如果自然數N是素數，當且僅當N不能被不大於√N的任何素數整除」。
見（代數學辭典[上海教育出版社]1985年。屜部貞世朗編。259頁）。
（四），對於（三）這句話的漢字可以等價轉換成為用英文字母表達的公式：
公式形式：
N=P₁M₁+A₁=P₂M₂+A₂=.....=Pr Mr +Ar ......(1)。
其中P₁，P₂，....，Pr 表示順序素數 2，3，5，......。Ai≠0。
這樣解得的N，若N＜P²r+1，則N是一個素數。
我們可以把（1）式內容等價轉換同餘式組表示：
N≡A₁(modP₁)，N≡A₂(modP₂)，.....N≡Ar(modPr)。。。。.（2）
由於（2）的模P₁，P₂，，.，Pr 都是素數，因此兩兩互素，根據孫子定理(中國剩餘定理）知，對於給定的A₁，A₂，，，Ar，（2）式在P₁P₂....Pr範圍內有唯一解。
範例
例如，r=1，N=2M₁+1,解得N=3,5,7。7﹤3²=9，求得了（3,3²）區間的全部素數。
r=2，
N=2M₁+1=3M₂+1,解得N=7,13,19;
N=2M₁+1=3M₂+2,解得N=5,11,17,23.
求得了（5,5²）區間的全部素數。
仿此下去，可以一個不漏地求得任意大的全部素數。
人類為了尋找這個公式，花費了2000多年。所以數學大師希爾伯特是1900年國際數學家大會上說，如果有了可以構造一切素數的公式，哥德巴赫猜想、孿生素數猜想等就可以解決了。
怎樣使得兩個自然數相加和相減都成為素數
（從台爾曼公式談起【中等數學】2002年5期）
即 S+X 成為素數，S-X 也是素數。
根據除法算式定理：「給定正整數a和b，b≠0，存在唯一整數q和t（0≤t＜b），使a=bq+t」。
再根據同餘定理：「每一整數恰與0,1,2,3，。.，m-1中一數同餘（mod m）」。、所以，任給一個自然數S(S >4)，都可以唯一表示成為：
S=P₁M₁+C₁=P₂M₂+C₂=...=Pr Mr + Cr。。(3)
其中 P₁，P₂，.Pr，.表示前面r個順序素數 2，3，5，....，。Ci=0，1，2，...,.Pr—1，
P²r /2 < S ＜ P²r+1
現在問，是否存在X,
X=P₁H₁+D₁=P₂H₂+D₂=......=Pr Hr +Dr .(4)
其中：Di≠Ci ； Di≠Pi - Ci。,
如果X ＜S-2，則S+X與S-X都是素數。
範例：
設S=20，
20=2M₁+0=3M₂+2=5 M₃ + 0
5²/2 < 20 <7²/2 (即25/2﹤20﹤49/2)
20的 C₁=0；C₂=2,；C₃=0。
構造X並且有4個解：
X=2H₁+1=3H₂+0=5H₃+1=21.;
X=2H₁+1=3H₂+0=5H₃+2=27;
X=2H₁+1=3H₂+0=5H₃+3=3;
X=2H₁+1=3H₂+0=5H₃+4=9.
四個解是：21，27，3，9。小於S-2的X有3和9，我們得知，20+3與20-3是一對素數；20+9與20-9是一對素數。 這就是利用素數判定法則：最小剩餘不為零，並且 S+X＜P²r+1,， 則S+X與S-X是一對素數。
推論：
因為（S+X）+（S-X）=2S。這就是著名的哥德巴赫猜想猜想， 我們需要證明(3)和（4）式必然有小於P²_r / 2的解，就證明了哥德巴赫猜想。
孫子定理和埃拉托斯特尼篩法形成的公式已經為哥德巴赫猜想提供了合理框架，並且把問題轉入到初等數論範圍。儘管我們現在還不能證明它，但是，我們已經把它編入初等數論範圍。 參見陳景潤事件