密鋪檢視原始碼討論檢視歷史
| 密鋪 |
 |
密鋪，即平面圖形的鑲嵌，用形狀、大小完全相同的幾種或幾十種平面圖形進行拼接，彼此之間不留空隙、不重疊地鋪成一片，這就是平面圖形的密鋪，又稱做平面圖形的鑲嵌。
簡介
周期性密鋪 我們先從三角形(非退化)說起，
1.任何三角形都可以密鋪整個平面。
證明:我們把2個三角形拼成一個平行四邊形，然後將平行四邊形上下疊放，從而密鋪整個平面。
2.任何凸四邊形(包括正方形，矩形)都可以密鋪整個平面。
證明:
我們稍微思考一下，剛才三角形的方法只能推廣到平行四邊形。注意到四邊形內角和為360，所以我們可以先把四個四邊形對應不同的角拼在一起，使其拼滿一個360度。
如圖2，不同顏色的角被集中到中央，接下來就是用四邊形按照同樣的不同四角補成360度的方式將周圍補全
3.正五邊形
密鋪條證明:首先，假設能夠密鋪平面，考慮任何一個正五邊形，以下情況不會出現:
否則在如圖2邊與頂點交匯處的一部分，不能放入另一個正五邊形鋪滿。
所以如果能鋪滿，應該是邊對邊，點對點，但是我們來思考一下某一個頂點，
?號處依假設還能放入若干個正五邊形密鋪，和2類似，應該也是圍成360度角，但?處角度為
360-108-108=144度，鋪一個還有餘，兩個就放不下，導出了矛盾。
4.正六邊形
證明:顯然。
5.正n邊形中，只有正三角形，正方形，正6邊形能密鋪平面，其餘正n邊形不能做到。
摺疊非周期性密鋪 一種密鋪是"風箏與飛鏢" ，如圖3
細節:
對晶體結構的認識其實與幾何上的密鋪問題是分不開的。對於單一正多邊形的密鋪，只能採用正三角形、正方形、正六邊形這三種，涉及的對稱軸也只有1,2,3,4,6重軸。但是如果採用多種不同的多邊形進行密鋪，那麼就有可能出現5重或者7重及以上的對稱軸。這一問題在1961年由華裔數學家王浩提上檯面，並在1976年，由數學家彭羅斯構造出了最為經典的採用兩種不同的菱形(36°/144°，72°/108°)的密鋪圖案:
這種密鋪中沒有可以平移對稱的單元，但其仍然是非常和諧的密鋪，而且具有五重對稱軸。
但至少在70年代末，這種對於密鋪的討論仍然僅限於數學上。
直到1984年以色列化學家丹·謝赫特曼在快速冷卻鋁錳合金時發現了一種嶄新的金屬相，這一金屬相的電子衍射斑表明其具有五重對稱軸。這一研究成果之後發表在PRL，標題是"一種長程有序但是不具有平移對稱性的金屬相"。在發表之後馬上引發了化學界的爆炸式研究。1985年，日本的Ishimasa課題先後在Ni-Cr合金顆粒中發現了12重軸、在V-Ni-Si和Cr-Ni-Si合金中發現了8重軸。這些新的具有長程有序的粒子排列但有不具備平移對稱性的新的結晶被稱為"准晶體(quasicrystal)"，丹·謝赫特曼也因為這次發現而獲得了2011年諾貝爾化學獎。
學術細節:
一個n重軸n經過點O並且和紙面垂直。晶體點陣中必然存在一個經過O的直線AA' ，並且A與A' 關於O對稱。設向量OA的模為a。將向量OA繞n順時針旋轉2π/n得到向量OB，將向量OA' 繞n逆時針旋轉2π/n得到向量OB' 。依據n重軸的定義，BB'肯定平行於AA'。
設:BB'的模為k·a，則:k.a = 2a·Cos(2π/n)，有 k = 2Cos(2π/n)，其中Cos(2π/n)的絕對值小於1，所以k的絕對值小於2。根據平移對稱性的定義，k必須是整數，所以k只能是-2,-1,0,1,2。
1.當k=-2時，Cos(2π/n)= -1，2π/n=180°，n=2
2.當k=-1時，Cos(2π/n)= -1/2，2π/n=120°，n=3
3.當k=-0時，Cos(2π/n)= 0，2π/n=90°，n=4
4.當k=1時，Cos(2π/n)= 1/2，2π/n=60°，n=6
5.當k=2時，Cos(2π/n)= 1，2π/n=360°，n=1
所以晶體中只存在1,2,3,4,6重軸。
可以參考: Crystallographic restriction theorem
評價
摺疊可單獨密鋪的圖形 1、任意三角形、任意凸四邊形都可以密鋪。
2、正三角形、正四邊形、正六邊形可以單獨用於平移密鋪。
3、三對對應邊平行的六邊形可以單獨密鋪。
4、僅發現十五類五邊形能密鋪。[1]