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| 龐加萊猜想 |
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龐加萊猜想是法國數學家龐加萊提出的一個猜想，是克雷數學研究所懸賞的七個千禧年大獎難題之一。其中三維的情形被俄羅斯數學家格里戈里·佩雷爾曼於2003年左右證明。2006年，數學界最終確認佩雷爾曼的證明解決了龐加萊猜想。龐加萊猜想是一個拓撲學中帶有基本意義的命題，將有助於人類更好地研究三維空間，其帶來的結果將會加深人們對流形性質的認識。
簡介
1904年，法國數學家亨利·龐加萊在提出了一個拓撲學的猜想:
"任何一個單連通的，封閉的三維流形一定同胚於一個三維的球面。"
簡單的說，一個閉的三維流形就是一個沒有邊界的三維空間;單連通就是這個空間中每條封閉的曲線都可以連續的收縮成一點，或者說在一個封閉的三維空間,假如每條封閉的曲線都能收縮成一點,這個空間就一定是一個三維圓球。
後來，這個猜想被推廣至三維以上空間，被稱為"高維龐加萊猜想"。
評價
提出這個猜想後，龐加萊一度認為自己已經證明了它。但沒過多久，證明中的錯誤就被暴露了出來。於是，拓撲學家們開始了證明它的努力。
早期的證明
20世紀30年代以前，龐加萊猜想的研究只有零星幾項。但突然，英國數學家懷特海(Whitehead)對這個問題產生了濃厚興趣。他一度聲稱自己完成了證明，但不久就撤回了論文。但是失之桑榆、收之東隅，在這個過程中，他發現了三維流形的一些有趣的特例，這些特例被稱為懷特海流形。
30年代到60年代之間，又有一些著名的數學家宣稱自己解決了龐加萊猜想，著名的賓(R.Bing)、哈肯(Haken)、莫伊澤(Moise)和帕帕奇拉克普羅斯(Papa-kyriakopoulos)均在其中。
帕帕奇拉克普羅斯是1964年的維布倫獎得主，一名希臘數學家。因為他的名字超長超難念，大家都稱呼他"帕帕"(Papa)。在1948年以前，帕帕一直與數學圈保持一定的距離，直到被普林斯頓大學邀請做客。帕帕以證明了著名的"迪恩引理"(Dehn's Lemma)而聞名於世，喜好舞文弄墨的數學家約翰·米爾諾(John Milnor)曾經為此寫下一段打油詩:"無情無義的迪恩引理/每一個拓撲學家的天敵/直到帕帕奇拉克普羅斯/居然證明得毫不費力。"
然而，這位聰明的希臘拓撲學家，卻最終倒在了龐加萊猜想的證明上。在普林斯頓大學流傳着一個故事。直到1976年去世前，帕帕仍在試圖證明龐加萊猜想，臨終之時，他把一疊厚厚的手稿交給了一位數學家朋友，然而，只是翻了幾頁，那位數學家就發現了錯誤，但為了讓帕帕安靜地離去，最後選擇了隱忍不言。
高維龐加萊猜想
這一時期拓撲學家對龐加萊猜想的研究，雖然沒能產生他們所期待的結果，但是，卻因此發展出了低維拓撲學這門學科。一次又一次嘗試的失敗，使得龐加萊猜想成為出了名難證的數學問題之一。然而，因為它是幾何拓撲研究的基礎，數學家們又不能將其撂在一旁。這時，事情出現了轉機。
斯梅爾(Smale)在60年代初想到了一個天才的主意:如果三維的龐加萊猜想難以解決，高維的會不會容易些呢?1960年到1961年，在里約熱內盧的海濱，經常可以看到一個人，手持草稿紙和鉛筆，對着大海思考。他，就是斯梅爾。1961年的夏天，在基輔的非線性振動會議上，斯梅爾公布了自己對龐加萊猜想的五維空間和五維以上的證明，立時引起轟動。 斯梅爾由此獲得1966年菲爾茨獎。
1983年，美國數學家福里德曼(Freedman)將證明又向前推動了一步。在唐納森工作的基礎上，他證出了四維空間中的龐加萊猜想，並因此獲得菲爾茨獎。但是，再向前推進的工作，又停滯了。
拓撲學的方法研究三維龐加萊猜想沒有進展，有人開始想到了其他的工具。瑟斯頓(Thruston)就是其中之一。他引入了幾何結構的方法對三維流形進行切割，並因此獲得了1983年的菲爾茨獎。
"就像費馬大定理，當谷山志村猜想被證明後，儘管人們還看不到具體的前景，但所有的人心中都有數了。因為，一個可以解決問題的工具出現了。"清華大學數學系主任文志英說。
里奇曲率流
理查德·漢密爾頓，生於1943年，比丘成桐大6歲。雖然在開玩笑的時候，丘成桐會戲謔地稱這位有30多年交情、喜歡衝浪、旅遊和交女朋友的老友"Playboy"，但提起他的數學成就，卻只有稱讚和惺惺相惜。
1972年，丘成桐和李偉光合作，發展出了一套用非線性微分方程的方法研究幾何結構的理論。丘成桐用這種方法證明了卡拉比猜想，並因此獲得菲爾茨獎。1979年，在康奈爾大學的一個討論班上，當時是斯坦福大學數學系教授的丘成桐見到了漢密爾頓。"那時候，漢密爾頓剛剛在做Ricci流，別人都不曉得，跟我說起。我覺得這個東西不太容易做。沒想到，1980年，他就做出了第一個重要的結果。"丘成桐說，"於是我跟他講，可以用這個結果來證明龐加萊猜想，以及三維空間的大問題。"
Ricci流是以意大利數學家里奇(Gregorio Ricci)命名的一個方程。用它可以完成一系列的拓撲手術，構造幾何結構，把不規則的流形變成規則的流形，從而解決三維的龐加萊猜想。看到這個方程的重要性後，丘成桐立即讓跟隨自己的幾個學生跟着漢密爾頓研究Ricci流。
在使用Ricci流進行空間變換時，到後來，總會出現無法控制走向的點。這些點，叫做奇點。如何掌握它們的動向，是證明三維龐加萊猜想的關鍵。在借鑑了丘成桐和李偉光在非線性微分方程上的工作後，1993年，漢密爾頓發表了一篇關於理解奇點的重要論文。便在此時，丘成桐隱隱感覺到，解決龐加萊猜想的那一刻，就要到來了。
七個"千禧難題"
2000年5月24日，美國克雷數學研究所(Clay Mathematical Institute)的科學顧問委員會把龐加萊猜想列為七個"千禧年大獎難題"之一。另外六個分別是:P對NP問題， 霍奇猜想， 黎曼假設，楊-米爾斯理論存在性與質量缺口，納維-斯托克斯方程存在性與光滑性，BSD猜想。
這七道問題被研究所認為是"重要的經典問題，經許多年仍未解決。"克雷數學研究所的董事會決定建立七百萬美元的大獎基金，每個問題的解決都可獲得百萬美元的獎勵。
佩雷爾曼的突破
格里戈里·佩雷爾曼在花了8年時間研究這個足有一個世紀的數學難題後，在2002年11月和2003年7月之間，將3份關鍵論文的手稿粘貼到arXiv.org這個專門刊登數學和物理預印本論文的網站上，並用電郵通知了幾位數學家，聲稱自己證明了幾何化猜想。到2005年10月，數位專家宣布驗證了該證明，一致的贊成意見幾乎已經達成。"如果有人對我解決這個問題的方法感興趣，都在那兒呢-讓他們去看吧。"佩雷爾曼說，"我已經發表了我所有的算法，我能提供給公眾的就是這些了。"
佩雷爾曼的做法讓克雷數學研究所大傷腦筋。因為按照這個研究所的規矩，宣稱破解了猜想的人需在正規雜誌上發表並得到專家的認可後，才能獲得100萬美元的獎金。顯然，佩雷爾曼並不想把這100萬美金補充到他那微薄的收入中去。
爭議
2006年，在佩雷爾曼公布他的3篇文章中的第一篇之後近4年，專家們終於達成了共識:佩雷爾曼解決了這個學科最令人肅然起敬的問題之一。但是猜想的解決卻觸發了一場風波。
2003年春天，丘成桐召集中山大學的朱熹平和他的一個學生，里海大學的曹懷東，承擔解釋佩雷爾曼的證明的工作。丘還安排朱在2005-06學年訪問哈佛大學，在一個討論班上講解佩雷爾曼的證明並繼續與曹一起寫他們的文章。2006年4月13日，《亞洲數學雜誌》編委會的31位數學家收到丘成桐和另一位共同主編的電子郵件，通知他們在3天內對丘打算在雜誌上發表的朱熹平和曹懷東的一篇文章發表意見，題目是"瑞奇流的哈密爾頓-佩雷爾曼理論:龐加萊和幾何化猜想"。電子郵件沒有包含這篇文章，評審報告或者摘要。至少一位編委要求看這篇文章，卻被告知無法得到。4月16日曹收到了丘的郵件告訴他文章已被接受，摘要已在雜誌的網站公布。一個多月後，朱和曹的文章的題目在《亞洲數學雜誌》的網頁上被改成"龐加萊和幾何化猜想的一個完整證明:瑞奇流的哈密爾頓-佩雷爾曼理論的應用"。摘要也被修改了，新加的一句話說，"這一證明應看作為瑞奇流的哈密爾頓-佩雷爾曼理論的最高成就"。
其他的一些數學家不同意朱和曹對於龐加萊猜想做出重要新貢獻的說法。紐約州立大學石溪分校的幾何學家約翰・摩根(John Morgan)說:"佩雷爾曼已經做了證明，這個證明是完整和正確的。我看不出他們做了什麼不同的事情。"2006年8月21日出版的《紐約客》雜誌刊發了一則關於龐加萊猜想的長篇報道。報道的第一作者是美國哥倫比亞大學新聞系教授娜莎(Sylvia Nasar)，曾經寫過《美麗心靈--納什傳》一書。娜莎通過一些數學家之口，將丘成桐描述為一個追名逐利之徒。紐約大學石溪分校數學系教授安德爾森(Michael Anderson)說，"丘成桐想要做幾何界的國王。他認為一切都應當出自於他。他不喜歡別人侵入他的領地";麻省理工學院數學系教授斯德洛克(Dan Strook)說，"他做過輝煌的事情，也為此得到了輝煌的榮譽。他拿到了所有的獎。在這個問題上他好像也想撈-把，我感到這有點卑劣……"在文章所配發的漫畫中，丘成桐正試圖從佩雷爾曼胸前摘走菲爾茲獎獎章。
娜莎及其合作者在2006年國際數學家大會召開之前遠赴聖彼得堡，終於採訪到了佩雷爾曼。當被問到是否讀過曹和朱的論文時，佩雷爾曼回答說，"我不清楚他們作出了什麼新貢獻，顯然，朱不是非常理解我的推理，然後重新進行了論證。"
最後朱熹平和曹懷東自己都承認他們沒有任何新的貢獻。12月3日，曹懷東和朱熹平在數學家們公布預印本的網站貼出一篇文章，題目是"龐加萊猜想與幾何化猜想的漢密爾頓–佩雷爾曼證明"。兩位作者在文章的引言中說:此文是對於他們在《亞洲數學雜誌》2006年第10卷第2期上發表的文章的修訂版。原來的文章的題目是"龐加萊與幾何化猜想的完整證明-瑞奇流的漢密爾頓–佩雷爾曼理論之應用";而且在原來的摘要中稱他們"給出了龐加萊與幾何化猜想的完整證明"，這句話在新版本中被刪掉了。兩位作者特別指出:"我們改變了標題並對摘要作了修改是為了反映我們的觀點，即證明龐加萊猜想的全部功勞屬於漢密爾頓和佩雷爾。"
事實上，在這兩位作者宣布他們對於龐加萊猜想的證明沒有功勞之前，丘成桐教授已經在國外說過他們的工作沒有原創性。也就是說丘成桐自己已經否定了他在6月初對中國媒體講的話。
另注:此事件中《紐約客》的採訪對象與採訪發布後有多人表示娜莎及其合作者"歪曲事實"。包括理查德·漢密爾頓在內的多名數學家發表聲明表示文章沒有正確地反映他們對丘的評價。
紐約大學石溪分校數學系教授安德爾森(Michael Anderson)在事後的澄清信中明確表示:"我明確告訴過她(娜莎)，當時我做出的評價不過是出於猜測，沒有事實根據。我從來沒有允許她這樣引用我的話"。
另一採訪對象麻省理工學院數學系教授斯德洛克(Dan Strook)更是在澄清信中表示娜莎及《紐約客》的歪曲報道"讓我，以及其他接受娜莎採訪的人震驚和憤怒"。
斯德洛克更進一步表示:"娜莎在6月參加了丘擔任大會主席的國際超弦大會後，設法讓我相信她對丘成桐非常崇拜，詢問我對於他的活動的看法。我告訴她，我很仰慕丘在支持中國年輕數學家，以及改變中國學術界的腐朽現狀所作的努力。我告訴她，有時候我覺得他的處事方法值得商榷。特別地，我告訴她，至少在我眼中，丘不注意保護自己，過於特立獨行，而把自己暴露在敵人面前。如同她文章中所寫的那樣，她有意歪曲我的陳述，並且不可原諒地加以杜撰。與大多數人一樣，丘也有自己的缺點;但是大多數人無法比擬的是，他的高尚品德遠遠超過他的缺點。不幸的是，娜莎用我的話來支持她的反面論證。為此我無法原諒她。"[1]