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無限猴子定理
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無限猴子定理
中文名稱：無限猴子定理作者：波萊爾出版日期：1933年

無限猴子定理是來自波萊爾一本1909年出版談概率的書籍，當中介紹了「打字的猴子」的概念。這個定理是概率論中的柯爾莫哥洛夫的零一律的其中一個命題的例子。

信息定義

普遍認同的觀點

關於此定理的敘述為：有無限只猴子用無限的時間會產生特定的文章。其實不必要出現了兩件無限的事物，一隻猴子打字無限次已經足夠打出任何文章，而無限只猴子則能即時產生所有可能的文章。

其他定義

其他取代的敘述，可能是用大英博物館或美國國會圖書館取代法國國家圖書館；另一個常見的版本是英語使用者常用的，就是猴子會打出莎士比亞的著作。

出處信息

這一典故的出處，喬納森·斯威夫特1782年出版的的<格列佛遊記>，第三部分第五章，教授要其學生透過經常轉動機械把手產生一些隨機的字句，以建立所有科學知識的列表。

直接證明

兩個獨立事件同時發生的概率等於其中每個事件單獨發生的概率的乘積。比如，在某一天悉尼下雨的可能性為0.3，同時舊金山地震的可能性是0.008（這兩個事件可以視為相互獨立的），那麼它們同時發生的概率是 0.3 × 0.008 = 0.0024。假設一個打字機有50個鍵，想要打出的字是「banana」。隨機的打字時，打出第一個字母「b」的概率是 1/50，打出第二個字母「a」的概率也是 1/50 ，因為事件是獨立的，所以一開始就打出單詞「banana」的概率是：(1/50) × (1/50) × (1/50) × (1/50) × (1/50) × (1/50) = (1/50)6這個概率小於150億分之1。同理，接下來繼續打出「banana」的概率也是(1/50)6。所以，在給定的六個字母沒有打出「banana」的概率是1-(1/50)6。因為每一段（6個字母）文字都是獨立的，連續n段都沒有打出「banana」的概率Xn是：隨着n變大，Xn在變小。當n等於100萬時，Xn大約是0.9999（沒有打出「banana」的概率是99.99%）；但是當n等於100億時Xn(n下標）大約是0.53（沒有打出「banana」的概率是53%）；當n等於1000億時Xn(n下標）大約是0.0017（沒有打出「banana」概率是0.17%）;當n趨於無窮時Xn趨於零。這就是說，只要使n足夠大，Xn可以變得足夠小。同樣的論證也可以說明在無限多的猴子中有至少一個會打出一段特定的文章。這裡，其中Xn表示在前n個猴子中沒有一個一次打出banana的概率。當我們有1000億隻猴子時，這個概率降低到0.17%，並且隨着猴子數量n趨於無窮大，沒有打出「banana」的概率Xn趨於0。但是，在只有有限的時間和有限只猴子時，結論就大不一樣了。如果我們的猴子數量和可觀測宇宙中的基本粒子數量一樣多，大約10的80次方只，每秒鐘打1000個字，持續打100倍於宇宙的生命長度的時間（大約10的20次方秒）有猴子能夠打出一本很薄的書的概率也接近與0。

無限長的字符串

以下兩種情況可以擴展到所有的字符串：

1.給定一個無限長的字符串，其中的每一個字符都是隨機產生的，那麼任意有限的字符串都會作為一個子字符串出現在其中（事實上要出現無限多次）。
2.給定一個序列，其中有無限多個無限長的字符串，其中每一個字符串中的每一個字符都是隨機產生的，那麼任意有限的字符串都會出現在其中某些字符串的開頭（事實上是無限多個字符串的開頭）。對於第二個定理，設Ek某給定字符串出現在第k個字符串開頭的事件。有固定的且不為零的概率p是這個事件發生，而且Ek是獨立的，所以：事件Ek發生無窮多次的概率是1。第一個定理可以類似地處理，先將無限長的字符串分割，使得每一段的長度和給定字符串相同，然後設Ek是第k段等於給定字符串的事件。

概率論證

不算標點符號、空格、大小寫，一個猴子隨機打字打出的第一個字母和哈姆雷特中相同的概率是1/26，前兩個字母相同的概率是1/676【即1/（26*26）】。因為概率發生了指數爆炸，前20個字母相同的概率是26的（-20）次方，約等於5.02*10的（-29）次方。而打出的字和哈姆雷特中的全部文本相同的概率降低到超出人們的想象。整部哈姆雷特大約有130,000個字母。雖然有【3.4*（10的183946次方）】分之一的概率一遍就正確地打出所有文本，在打出正確的文字之前平均需要輸入的字母數量也要3.4*（10的183946次方），或者包括標點符號，4.4*（10的360783次方）。即使可觀測宇宙中充滿了猴子一直不停地打字，能夠打出一部哈姆雷特的概率仍然少於10的183800次方分之一。

現實

不過在現實中，猴子打出一篇像樣的文章的幾率是零，因為科學家經過反覆試驗後發現，猴子在使用鍵盤時通常會連按某一個鍵或拍擊鍵盤，最終打出的文字不可能成為一個完整的句子。^[1]