概率論與數理統計檢視原始碼討論檢視歷史

概率統計是高等院校理工類、經管類的重要課程之一。在考研數學中的比重大約占22%左右（數一、數三）。包括概率論的基本概念、隨機變量及其概率分布、數字特徵、大數定律與中心極限定理、統計量及其概率分布、參數估計和假設檢驗、回歸分析、方差分析、馬爾科夫鏈等內容。

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課程描述

概率論與數理統計是數學的一個有特色且又十分活躍的分支，一方面，它有別開生面的研究課題，有自己獨特的概念和方法，內容豐富，結果深刻;另一方面，它與其他學科又有緊密的聯繫，是近代數學的重要組成部分。由於它近年來突飛猛進的發展與應用的廣泛性，已發展成為一門獨立的一級學科。概率論與數理統計的理論與方法已廣泛應用於工業、農業、軍事和科學技術中，如預測和濾波應用於空間技術和自動控制，時間序列分析應用於石油勘測和經濟管理，馬爾科夫過程與點過程統計分析應用於地震預測等，同時他又向基礎學科、工科學科滲透，與其他學科相結合發展成為邊緣學科，這是概率論與數理統計發展的一個新趨勢。 （孔繁亮）

考研相關

題型總結 大部分同學開始了概率論和數理統計的複習，本文主要想對同學們近期的複習做一個簡單的指導。概率論與數理統計初步主要考查考生對研究隨機現象規律性的基本概念、基本理論和基本方法的理解，以及運用概率統計方法分析和解決實際問題的能力。常有的題型有：填空題、選擇題、計算題和證明題，試題的主要類型有： (1)確定事件間的關係，進行事件的運算； (2)利用事件的關係進行概率計算； (3)利用概率的性質證明概率等式或計算概率； (4)有關古典概型、幾何概型的概率計算； (5)利用加法公式、條件概率公式、乘法公式、全概率公式和貝葉斯公式計算概率； (6)有關事件獨立性的證明和計算概率； (7)有關獨重複試驗及伯努利概率型的計算； (8)利用隨機變量的分布函數、概率分布和概率密度的定義、性質確定其中的未知常數或計算概率； (9)由給定的試驗求隨機變量的分布； (10)利用常見的概率分布(例如(0-1)分布、二項分布、泊松分布、幾何分布、均勻分布、指數分布、正態分布等計算概率； (11)求隨機變量函數的分布(12)確定二維隨機變量的分布； (13)利用二維均勻分布和正態分布計算概率； (14)求二維隨機變量的邊緣分布、條件分布； (15)判斷隨機變量的獨立性和計算概率； (16)求兩個獨立隨機變量函數的分布； (17)利用隨機變量的數學期望、方差的定義、性質、公式，或利用常見隨機變量的數學期望、方差求隨機變量的數學期望、方差； (18)求隨機變量函數的數學期望； (19)求兩個隨機變量的協方差、相關係數並判斷相關性； (20)求隨機變量的矩和協方差矩陣； (21)利用切比雪夫不等式推證概率不等式； (22)利用中心極限定理進行概率的近似計算； (23)利用t分布、χ2分布、F分布的定義、性質推證統計量的分布、性質； (24)推證某些統計量(特別是正態總體統計量)的分布； (25)計算統計量的概率； (26)求總體分布中未知參數的矩估計量和極大似然估計量； (27)判斷估計量的無偏性、有效性和一致性； (28)求單個或兩個正態總體參數的置信區間； (29)對單個或兩個正態總體參數假設進行顯著性檢驗； (30)利用χ2檢驗法對總體分布假設進行檢驗。 這一部分主要考查概率論與數理統計的基本概念、基本性質和基本理論，考查基本方法的應用。對歷年的考題進行分析，可以看出概率論與數理統計的試題，即使是填空題和選擇題，只考單一知識點的試題很少，大多數試題是考查考生的理解能力和綜合應用能力。要求考生能靈活地運用所學的知識，建立起正確的概率模型，綜合運用極限、連續函數、導數、極值、積分、廣義積分以及級數等知識去解決問題。 在解答這部分考題時，考生易犯的錯誤有： (1)概念不清，弄不清事件之間的關係和事件的結構； (2)對試驗分析錯誤，概率模型搞錯； (3)計算概率的公式運用不當； (4)不能熟練地運用獨立性去證明和計算； (5)不能熟練掌握和運用常用的概率分布及其數字特徵； (6)不能正確應用有關的定義、公式和性質進行綜合分析、運算和證明。 專業輪廓 在自然界和人類的日常生活中，隨機現象非常普遍，比如每期福利彩票的中獎號碼。概率論是根據大量同類隨機現象的統計規律，對隨機現象出現某一結果的可能性作出一種客觀的科學判斷，對這種出現的可能性作出一種客觀的科學判斷，並作出數量上的描述；比較這些可能性的大小。數理統計是應用概率的理論研究大量隨機現象的規律性，對通過科學安排的一定數量的實驗所得到的統計方法給出嚴格的理論證明，並判定各種方法應用的條件以及方法、公式、結論的可靠程度和局限性，使人們能從一組樣本判定是否能以相當大的概率來保證某一判斷是正確的，並可以控制發生錯誤的概率。 過來人說 [關鍵詞] 研究熱點 羅燕（2007級概率論與數理統計碩士研究生）：應用統計方向的研究越來越熱了，應用統計更貼近生活，所以越來越被各行各業注重。但是我們不要忘了統計的基礎是概率。概率方面的研究仍然值得重視。 宋高陽（2007級概率論與數理統計碩士研究生）：統計學主要方向有隨機理論、數據分析、金融統計等，就現在的情況來看，數據分析和數據挖掘會比較熱門，因為應用的範圍更廣一些。如果研究生畢業之後選擇工作，應用性較強的學科是最好的選擇。 [關鍵詞] 建議 宋高陽（2007級概率論與數理統計碩士研究生）：國內許多高校將統計學和金融學劃歸為一類，成立金融與統計學院或者直接統計學劃歸為經濟系。這非常好理解，因為經濟學和金融學都是以統計為基本方法的。但作為數學二級學科的統計學的範疇卻和金融統計相去甚遠，學術成分也更高一些。統計學以概率論為基礎，理論性更強，對隨機過程、概率極限、回歸分析等基礎知識的要求也更高。其實，統計學也不僅僅只是在金融學方面才有用武之地，回到開篇提到的「生物統計學」，就是當仁不讓的熱門「頭牌」，這就要考生在報考時注意自己選擇的到底是經濟學院的統計學，還是數學系的統計學。 跨考院校推薦 北京師範大學的概率論研究群體歷經三代人，已有40年的傳統和積累，擁有陳木法、李增滬、張餘輝、王鳳雨等著名的專家學者。這一研究群體被國際上的兩個主要數學評論雜誌譽為「馬氏過程的中國學派」或「北京學派」。主要研究方向有交互作用粒子系統、隨機分析、測度值馬氏過程等。概率論和數理統計學科實力較強的院校還有南開大學、中南大學、東北師範大學、武漢大學、華中科技大學、中國科學技術大學等。 數學這棵大樹歷經多年的發展已經枝繁葉茂。一般重點大學的數學系都會有數十位甚至上百位教授或講師，每位的研究方向都不一樣，它們彼此的差異就好比達芬奇的雞蛋，再加上與各種學科的交叉和發展，又產生了更多的新分支方向。也正因為這樣，數學這門學科才會如此豐富多姿。 怎樣學「概率論與數理統計」 「概率論與數理統計」是理工科大學生的一門必修課程，也是報考碩士研究生時數學試卷中重要內容之一[數學一和數學三都是占22%(概率論)]。由於該學科與生活實踐和科學試驗有着緊密的聯繫，是許多新發展的前沿學科(如控制論、信息論、可靠性理論、人工智能等)的基礎，因此學好這一學科是十分重要的。 首先我們從歷屆考研成績進行分析，觀察一下高等數學與概率統計之間有什麼差異其一是概率統計的平均得分率往往低於高等數學平均得分率.其二高等數學的得分分布呈兩頭小中間大現象，即低分和高分比例小，而中間分數段比例大，而概率統計的得分率卻是低分多， 中間分數少，高分較多的現象.為什麼會發生上述差異?經分析發現雖然高等數學與概率統計同屬數學學科，但各有自己的特點. 高等數學主要是通過學習極限、導數和積分等知識解決有關(一維或多維)函數的有關性質和圖象的問題, 它與中學的數學有着密切聯繫而且有着相同的思想方法和解題思路.因而在概念上理解比較容易接受(當然也有比較抽象的內容如中值定理等).另一方面由於涉及許多具體初等函數，在求導數和積分時有許多計算上的技巧，需要大量練習以熟練掌握這些技巧，因而部分學生即使概念不十分清楚，但仍能正確解答相當多的試題，在考研中得到一定的成績。 而在「概率論與數理統計」的學習中更注重的是概念的理解，而這正是廣大學生所疏忽的，在考研複習時幾乎有近一半以上學生對「什麼是隨機變量」、「為什麼要引進隨機變量」仍說不清楚.對於涉及隨機變量的獨立，不相關等概念更是無從着手，這一方面是因為高等數學處理的是「確定」的事件.如函數y=f(x)，當x確定後y有確定的值與之對應.而概率論中隨機變量X在抽樣前是不確定的，我們只能由隨機試驗確定它落在某一區域中的概率，要建立用「不確定性」的思維方法往往比較困難，如果套用確定性的思維方法就會出錯.由於基本概念沒有搞懂，即使是十分簡單的題目也難以得分.從而造成低分多的現象.另一方面由於概率論中涉及的計算技巧不多，除了古典概型，幾何概型和計算二維隨機變量的函數分布時如何確定積分上、下限有一些計算的難點，其他的只是數值或者積分、導數的計算.因而如果概念清楚，那麼解題往往很順利且易得到正確答案，這正是高分較多的原因。 根據上面分析，啟示我們不能把高等數學的學習方法照搬到「概率統計」的學習上來，而應按照概率統計自身的特點提出學習方法，才能取得「事半功倍」的效果.下面我們分別對「概率論」和「數理統計」的學習方法提出一些建議。 一、 學習「概率論」要注意以下幾個要點 1. 在學習「概率論」的過程中要抓住對概念的引入和背景的理解，例如為什麼要引進「隨機變量」這一概念。這實際上是一個抽象過程。正如小學生最初學數學時總是一個蘋果加2個蘋果等於3個蘋果，然後抽象為1+2=3.對於具體的隨機試驗中的具體隨機事件，可以計算其概率，但這畢竟是局部的，孤立的，能否將不同隨機試驗的不同樣本空間予以統一，並對整個隨機試驗進行刻畫。隨機變量X(即從樣本空間到實軸的單值實函數)的引進使原先不同隨機試驗的隨機事件的概率都可轉化為隨機變量落在某一實數集合B的概率，不同的隨機試驗可由不同的隨機變量來刻畫. 此外若對一切實數集合B，知道P(X∈B). 那麼隨機試驗的任一隨機事件的概率也就完全確定了.所以我們只須求出隨機變量X的分布P(X∈B). 就對隨機試驗進行了全面的刻畫.它的研究成了概率論的研究中心課題.故而隨機變量的引入是概率論發展歷史中的一個重要里程碑.類似地，概率公理化定義的引進，分布函數、離散型和連續型隨機變量的分類，隨機變量的數學特徵等概念的引進都有明確的背景，在學習中要深入理解體會。 2. 在學習「概率論」過程中對於引入概念的內涵和相互間的聯繫和差異要仔細推敲，例如隨機變量概念的內涵有哪些意義：它是一個從樣本空間到實軸的單值實函數X(w)，但它不同於一般的函數，首先它的定義域是樣本空間，不同隨機試驗有不同的樣本空間.而它的取值是不確定的， 隨着試驗結果的不同可取不同值，但是它取某一區間的概率又能根據隨機試驗予以確定的，而我們關心的通常只是它的取值範圍，即對於實軸上任一B，計算概率P(X∈B)，即隨機變量X的分布.只有理解了隨機變量的內涵，下面的概念如分布函數等等才能真正理解.又如隨機事件的互不相容和相互獨立兩個概念通常會混淆，前者是事件的運算性質，後者是事件的概率性質，但它們又有一定聯繫，如果P(A)·P(B)>0，則A，B獨立則一定相容.類似地，如隨機變量的獨立和不相關等概念的聯繫與差異一定要真正搞懂。 3. 搞懂了概率論中的各個概念，一般具體的計算都是不難的，如F(x)=P(X≤x),EX,DX等按定義都易求得.計算中的難點有古典概型和幾何概型的概率計算，二維隨機變量的邊緣分布fx(x)=∫－∞∞ f(x,y)dy,事件B的概率P((X，Y)∈B)=∫∫Bf(x,y)dxdy，卷積公式等的計算，它們形式上很簡單，但是由於f(x,y)通常是分段函數，真正的積分限並不再是(－∞,∞)或B，這時如何正確確定事實上的積分限就成了正確解題的關鍵，要切實掌握。 4. 概率論中也有許多習題，在解題過程中不要為解題而解題，而應理解題目所涉及的概念及解題的目的，至於具體計算中的某些技巧基本上在高等數學中都已學過.因此概率論學習的關鍵不在於做許多習題，而要把精力放在理解不同題型涉及的概念及解題的思路上去.這樣往往能「事半功倍」。 二、 學習「數理統計」要注意以下幾個要點 1. 由於數理統計是一門實用性極強的學科，在學習中要緊扣它的實際背景，理解統計方法的直觀含義.了解數理統計能解決那些實際問題.對如何處理抽樣數據，並根據處理的結果作出合理的統計推斷，該結論的可靠性有多少要有一個總體的思維框架，這樣，學起來就不會枯燥而且容易記憶.例如估計未知分布的數學期望，就要考慮到① 如何尋求合適的估計量的途徑，②如何比較多個估計量的優劣?這樣，針對①按不同的統計思想可推出矩估計和極大似然估計，而針對②又可分為無偏估計、有效估計、相合估計，因為不同的估計名稱有着不同的含義，一個具體估計量可以滿足上面的每一個，也可能不滿足.掌握了尋求估計的統計思想，具體尋求估計的步驟往往是「套路子」的，並不困難，然而如果沒有從根本上理解，僅死背套路子往往會出現各種錯誤。 2. 許多同學在學習數理統計過程中往往抱怨公式太多，置信區間，假設檢驗表格多而且記不住.事實上概括起來只有八個公式需要記憶，而且它們之間有着緊密聯繫，並不難記，而區間估計和假設檢驗中只是這八個公式的不同運用而已，關鍵在於理解區間估計和假設檢驗的統計意義，在理解基礎上靈活運用這八個公式，完全沒有必要死記硬背。