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| 正八面體 |
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中文名: 正八面體 外文名: regular octahedron 頂點數: 6 邊 數: 12 面 數: 8 應用學科: 幾何學 |
正八面體，一種正多面體，也是一種正軸體，面為8個正三角形，八面體的對角面為正方形，共三個，並且兩兩垂直。交線同樣兩兩垂直。二面角為109°28′16.3″。
正八面體每四條棱可以成為一個正方形，共有三個獨立的正方形。[1]
頂點數目：6
邊數目：12
面數目：8
當邊長為a時：
表面積：
體積：
外接球半徑：
(外接球即過正八面體各頂點的球)
內切球半徑：
（內切球即與正八面體各面相切的球）
中交球半徑：
（中交球即過正八面體各邊中點的球）
基本信息
首先，為什麼棱長相等的正八面體體積是正四面體體積的4倍？要怎麼證明呢？直接用公式計算證明？甚至動用定積分來計算？不不不，其實，這個證明並不難，只需一點點想象力，也許就可以讓只學過學過正方體和三稜錐體積公式的小學生弄明白。
正八面體是五種正多面體的第三種，是三維的正軸體，有6個頂點、12條邊和8個面。它由八個等邊三角形構成，也可以看做上、下兩個正方椎體黏合而成，每個正方椎體由四個三角形與一個正方形組成。正八面體的對偶多面體是立方體。
正八面體內嵌在立方體中時，6個頂點分別位於立方體的面心：
正八面體體積 : 立方體體積=1 : 6
坐標系
以棱長為的正八面體的幾何中心作為原點，將正八面體的對角線作為x,y,z軸建立三維直角坐標系（正八面體的3條對角線兩兩正交，這也是正八面體被叫做「正軸形」的原因），則我們能將正八面體的頂點坐標記為
( ±1, 0, 0 )
( 0, ±1, 0 )
( 0, 0, ±1 )
正八面體表面方程為： |x|+|y|+|z|=1
更一般的，如果正八面體的對角線平行於坐標軸，中心為(x0,y0,z0)，外接圓半徑為r（棱長為），則正八面體表面方程為： |x-x0|+|y-y0|+|z-z0|=r如果中心在原點的正八面體被拉長，成為菱形體，則更一般的八面體方程為其內接於橢球體表面積S和體積V為：
它的慣性張量I是：當時，菱形體為上述正八面體。
正交投影
正八面體可以以多種不同的方向被正交投影到二維平面，以下表格展示了幾種特殊的投影：
正八面體作為3維的正軸體正多面體，自身擁有較高的對稱性，它的所有面都是不可區分的。可是我們也可以想象將正八面體的面「塗上」不同的「顏色」，使它其的不同面擁有不同的「幾何意義」，使正八面體擁有不同的對稱性。正八面體的對稱群是Oh（正八面體群），是三維的超正八面體群。在此對稱性下，正八面體的所有面都帶有相同對「顏色」，對稱性最高，群階48。該群的子群體現了正八面體更低的對稱性：Td（群階24），截半正四面體的對稱群；D3d（群階12），三角反稜柱的對稱群；D4h（群階16），四角雙稜錐（正四稜柱的對偶）的對稱群；D2h（群階8），三維長菱體（三維長方體的對偶）的對稱群。
對偶性
正八面體的對偶多面體是立方體。
當正八面體在立方體之內：
正八面體體積: 立方體體積
=[(1/3)×高×底面積]×2: 邊
=(1/3)(n/2)[(n)/2]2: n
=1: 6
歷史
柏拉圖認為正八面體介於正四面體（火）和正二十面體（水）之間，因此認為它代表的元素是空氣。